在大小为N的整数数组中查找和为X的对，其中元素的范围为0到N-1

Question

这是一个面试问题。我们有一个大小为N的整数数组，包含0到N-1之间的元素。一个数字可能出现两次以上。目标是找到总和为给定数字X的对。

我使用了一个辅助数组，该数组包含主数组的元素计数，然后根据辅助数组重新排列主数组，以便对主数组进行排序，然后搜索对。

但是面试官想要空间复杂度常数，所以我告诉他对数组进行排序，但这不是时间复杂度解。他想要O（n）解。

是否有任何方法可以在没有任何额外空间的情况下在O（n）中执行此操作？

Answer 1

字符串排序是n log n，但是如果可以假设数字是有界的（并且可以，因为您只对求和为某个值的数字感兴趣），则可以使用基数排序。基数排序需要O（kN）时间，其中“k”是键的长度。在你的情况下，这是一个常数，所以我认为公平地说是O（N）。

然而，通常我会使用散列来解决这个问题。

http://41j.com/blog/2012/04/find-items-in-an-array-that-sum-to-15/

尽管这当然不是线性时间解。

Answer 2

这可以通过在O（N）时间内将输入数组转换为“就地”计数器列表来实现。当然，这假设输入数组不是不变的。不需要对每个数组元素中未使用的位进行任何其他假设。

从以下预处理开始：尝试将每个数组的元素移动到由元素值确定的位置；将此位置上的元素也移动到由其值确定的位置；继续直到：

• 下一个元件移动到该循环开始的位置，
• 无法移动下一个元素，因为它已经位于与其值相对应的位置上（在这种情况下，将当前元素置于该循环开始的位置）

在预处理后，每个元素要么位于其“正确”位置，要么“指向”其“正确”位置。如果我们在每个元素中有未使用的位，我们可以将每个正确定位的元素转换为计数器，用“1”初始化它，并允许每个“指向”元素增加适当的计数器。额外的位允许区分计数器和值。同样的事情可以在没有任何额外位的情况下完成，但使用更少的繁琐算法。

计算数组中的值如何等于0或1。如果存在任何此类值，请将其重置为零，并更新位置0和/或1处的计数器。设置k=2（值小于k的数组部分的大小由计数器替换）。对k=2、4、8、…，应用以下程序。。。

1. 在位置<代码>k.处查找元素。。2k-1如果处于“正确”位置，则将其替换为计数器，初始值为“1”
2. 对于位置<代码>k.处的任何元素。。2k-1，值为2。。k-1更新位置处的相应计数器2。。k-1，并将值重置为零
3. 对于位置<代码>0.处的任何元素。。2k-1，值为k。。2k-1更新位置k处的相应计数器。。2k-1，并将值重置为零

该过程的所有迭代都具有O（N）时间复杂性。最后，输入数组完全转换为计数器数组。这里唯一的困难是在<代码>0的位置最多有两个计数器。。2k-1的值可能大于k-1。但这可以通过为每个索引存储两个额外的索引，并将这些索引处的元素作为计数器而不是值来处理来缓解。

生成计数器数组后，我们可以将计数器对相乘（其中对应的索引对总和为X）以获得所需的对计数。

Answer 3

不，我不这么认为。您要么需要额外的空间来通过分配给存储桶来“排序”O（n）中的数据，要么需要就地排序，而不是O（n）。

当然，如果你能做出某些假设，总会有技巧。例如，如果N

换句话说，使用较低的16位存储数组中的值，然后使用较高的16位存储与索引匹配的值的计数。

让我们使用一个简化的示例，其中N==8。因此，数组的长度为8个元素，每个元素的整数都小于8，尽管它们的宽度为8位。这意味着（最初）每个元素的前四位为零。

  0    1    2    3    4    5    6    7    <- index
(0)7 (0)6 (0)2 (0)5 (0)3 (0)3 (0)7 (0)7

将计数存储到前四位的O（n）调整的伪码为：

for idx = 0 to N:
    array[array[idx] % 16] += 16 // add 1 to top four bits

作为示例，考虑存储7的第一个索引。因此，该赋值语句将在索引7中添加16，增加7的数量。模运算符用于确保已增加的值仅使用较低的四位来指定数组索引。

所以数组最终变成：

  0    1    2    3    4    5    6    7    <- index
(0)7 (0)6 (1)2 (2)5 (0)3 (1)3 (1)7 (3)7

然后您将新数组放在常量空间中，您可以使用int（array[X]/16）来计算有多少X值。

但是，这是相当狡猾的，需要如前所述的某些假设。这很可能是面试官想要的狡猾程度，或者他们可能只是想看看未来的员工如何处理编码的小林丸：-）

一旦有了计数，就可以很容易地找到和给定的X的对，仍然是O（N）。基本方法是获得卡特斯产品。例如，再次考虑N是8，并且需要求和为8的对。忽略上面多路复用阵列的下半部分（因为您只对计数感兴趣，所以您有：

 0   1   2   3   4   5   6   7    <- index
(0) (0) (1) (2) (0) (1) (1) (3)

基本上，你要做的是一步一步地遍历数组，得到总数为8的数字的乘积。

• 对于0，需要添加8（不存在）
• 对于1，您需要添加7。计数的乘积是0 x 3，因此没有任何结果
• 对于2，您需要添加6。计数的乘积为1 x 1，因此出现一次<代码>（2,6）
• 对于3，您需要添加5。计数的乘积为2 x 1，因此会出现两次（3,5）
• 对于4，这是一个特例，因为你不能使用该产品。在这种情况下，这并不重要，因为没有4s，但如果有4s，就不可能成为一对。如果配对的数字相同，则公式为（假设有m个）<代码>1 2 3。。。m-1。再加上一点数学上的宽限，结果是m（m-1）/2

除此之外，您正在与左边的值配对，您已经这样做了，所以您可以停止。

那么你最终得到了什么

a b c d e f g h <- identifiers
7 6 2 5 3 3 7 7

是：

(2,6) (3,5) (3,5)
(c,b) (e,d) (f,d) <- identifiers

没有其他值加起来等于8。

下面的程序说明了这一点：

#include <stdio.h>

int arr[] = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 4, 4, 4, 4};
#define SZ (sizeof(arr) / sizeof(*arr))

static void dumpArr (char *desc) {
    int i;
    printf ("%s:\n   Indexes:", desc);
    for (i = 0; i < SZ; i++) printf (" %2d", i);

    printf ("\n   Counts :");
    for (i = 0; i < SZ; i++) printf (" %2d", arr[i] / 100);

    printf ("\n   Values :");
    for (i = 0; i < SZ; i++) printf (" %2d", arr[i] % 100);

    puts ("\n=====\n");
}

上面的那一位只是为了调试。进行铲斗排序的实际代码如下：

int main (void) {
    int i, j, find, prod;

    dumpArr ("Initial");

    // Sort array in O(1) - bucket sort.

    for (i = 0; i < SZ; i++) {
        arr[arr[i] % 100] += 100;
    }

最后我们用代码进行配对：

    dumpArr ("After bucket sort");

    // Now do pairings.

    find = 8;
    for (i = 0, j = find - i; i <= j; i++, j--) {
        if (i == j) {
            prod = (arr[i]/100) * (arr[i]/100-1) / 2;
            if (prod > 0) {
                printf ("(%d,%d) %d time(s)\n", i, j, prod);
            }
        } else {
            if ((j >= 0) && (j < SZ)) {
                prod = (arr[i]/100) * (arr[j]/100);
                if (prod > 0) {
                    printf ("(%d,%d) %d time(s)\n", i, j, prod);
                }
            }
        }
    }

    return 0;
}

输出为：

Initial:
   Indexes:  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
   Counts :  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
   Values :  3  1  4  1  5  9  2  6  5  3  5  8  9  4  4  4  4
=====

After bucket sort:
   Indexes:  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
   Counts :  0  2  1  2  5  3  1  0  1  2  0  0  0  0  0  0  0
   Values :  3  1  4  1  5  9  2  6  5  3  5  8  9  4  4  4  4
=====

(2,6) 1 time(s)
(3,5) 6 time(s)
(4,4) 10 time(s)

如果你检查输入的数字，你会发现对是正确的。