给定一组n个整数，返回k个元素总和为0的所有子集

Question

给定一组未排序的整数，返回大小为k的所有子集（即每组有k个唯一元素），其总和为0。

所以我给了面试官以下解决方案（我在GeekViewpoint上研究过）。没有使用额外的空间，一切都做到位，等等。但当然成本是O（n^k）的高时间复杂度，其中k=tuple在解决方案中。

public void zeroSumTripplets(int[] A, int tuple, int sum) {
  int[] index = new int[tuple];
  for (int i = 0; i < tuple; i++)
    index[i] = i;
  int total = combinationSize(A.length, tuple);
  for (int i = 0; i < total; i++) {
    if (0 != i)
      nextCombination(index, A.length, tuple);
    printMatch(A, Arrays.copyOf(index, tuple), sum);
  }// for
}// zeroSumTripplets(int[], int, int)

private void printMatch(int[] A, int[] ndx, int sum) {
  int calc = 0;
  for (int i = 0; i < ndx.length; i++)
    calc += A[ndx[i]];
  if (calc == sum) {
    Integer[] t = new Integer[ndx.length];
    for (int i = 0; i < ndx.length; i++)
      t[i] = A[ndx[i]];
    System.out.println(Arrays.toString(t));
  }// if
}// printMatch(int[], int[], int)

但随后她提出了以下要求：

• 必须在答案中使用hashmap以降低时间复杂度
• 必须绝对地为一般情况提供时间复杂度
• k=6时的提示，O（n^3）

她对时间复杂性比其他任何东西都更感兴趣。

有人知道满足新约束的解决方案吗？

编辑：

假设，在正确的解决方案中，映射将存储输入的元素，然后映射将用作查找表，就像k=2的情况一样。

当子集的大小为2（即k=2）时，答案很简单：遍历所有元素并将其加载到映射中。然后再次循环输入，这次在映射中搜索求和输入[i]，其中i是从0到n-1的索引，然后就是答案。假设这个微不足道的情况可以扩展到k是任何东西的地方。

Answer 1

@卡萨夫贝雷-

最近，一位朋友在Google接受了一份C编程工作的一整天的痛苦面试。他的经历与你相似。

这启发了他写这篇文章——我想你可能会喜欢：

实用主义辩护

Answer 2

我认为你的答案非常接近他们正在寻找的内容，但是你可以通过注意sizek的任何子集都可以被认为是sizek/2的两个子集来提高复杂性。因此，不是找到sizek的所有子集（假设k很小，需要O（n^k）），而是使用您的代码找到sizek/2的所有子集，并将每个子集放入哈希表中，以其总和为键。

然后用正和（称之为和）遍历大小为k/2的每个子集，并检查哈希表中求和为-S的子集。如果有一个，那么大小k/2的两个子集的组合就是大小k的一个子集，其和为零。

因此，在他们给出的k=6的情况下，你会找到大小为3的所有子集，并计算它们的和（这将花费时间）。然后，检查哈希表将花费每个子集的时间，因此总时间是0（n^3）。一般情况下，假设k很小，这种方法将采用O（n^（k/2）），您可以通过取大小floor（k/2）和floor（k/2）1的子集，对k的奇数值进行推广。

Answer 3

既然没有其他人尝试过，我不妨至少提出一个部分解决方案。正如我在前面的评论中指出的，这个问题是子集和问题的一个变体，在开发这个解决方案时，我严重依赖于有文档记录的方法来解决这个问题。

我们正在尝试编写一个函数subsetsSusSum（A， k， s），它计算A的所有k长度子集，总和为s。这个问题以两种方式适合递归解决方案：

1. 通过计算subsetwithsum（x_{2…xn，k，s）并添加包含x1的所有有效子集（如果有），可以找到subsetwithsum（x1，k，s）的解；和}

递归的基本情况发生在k为1时，在这种情况下，subsetsSusSum（A，1， s）的解决方案是该元素等于s的所有单个元素子集的集合。

因此，第一次尝试解决方案是

/**
 * Return all k-length subsets of A starting at offset o that sum to s.
 * @param A - an unordered list of integers.
 * @param k - the length of the subsets to find.
 * @param s - the sum of the subsets to find.
 * @param o - the offset in A at which to search.
 * @return A list of k-length subsets of A that sum to s.
 */
public static List<List<Integer>> subsetsWithSum(
        List<Integer> A,
        int k,
        int s,
        int o)
{
    List<List<Integer>> results = new LinkedList<List<Integer>>();

    if (k == 1)
    {
        if (A.get(o) == s)
            results.add(Arrays.asList(o));
    }
    else
    {
        for (List<Integer> sub : subsetsWithSum(A, k-1, s-A.get(o), o+1))
        {
            List<Integer> newSub = new LinkedList<Integer>(sub);
            newSub.add(0, o);
            results.add(0, newSub);
        }
    }

    if (o < A.size() - k)
        results.addAll(subsetsWithSum(A, k, s, o+1));

    return results;
}

现在，请注意，这个解决方案通常会使用与之前调用的相同的一组参数调用subsetsWisSum（...）。因此，subsetsWisSum只是乞求被备忘录化。

为了记忆该函数，我将参数k、s和o放入了一个三元素列表中，该列表是将这些参数映射到先前计算的结果（如果有）的关键：

public static List<List<Integer>> subsetsWithSum(
        List<Integer> A,
        List<Integer> args,
        Map<List<Integer>, List<List<Integer>>> cache)
{
    if (cache.containsKey(args))
        return cache.get(args);

    int k = args.get(0), s = args.get(1), o = args.get(2);
    List<List<Integer>> results = new LinkedList<List<Integer>>();

    if (k == 1)
    {
        if (A.get(o) == s)
            results.add(Arrays.asList(o));
    }
    else
    {
        List<Integer> newArgs = Arrays.asList(k-1, s-A.get(o), o+1);

        for (List<Integer> sub : subsetsWithSum(A, newArgs, cache))
        {
            List<Integer> newSub = new LinkedList<Integer>(sub);
            newSub.add(0, o);
            results.add(0, newSub);
        }
    }

    if (o < A.size() - k)
        results.addAll(subsetsWithSum(A, Arrays.asList(k, s, o+1), cache));

    cache.put(args, results);
    return results;
}

要使用subsetsSusSum函数计算所有总和为零的k长度子集，可以使用以下函数：

public static List<List<Integer>> subsetsWithZeroSum(List<Integer> A, int k)
{
    Map<List<Integer>, List<List<Integer>>> cache =
            new HashMap<List<Integer>, List<List<Integer>>> ();
    return subsetsWithSum(A, Arrays.asList(k, 0, 0), cache);
}

遗憾的是，我的复杂性计算技能有点（阅读：非常）生疏，所以希望其他人可以帮助我们计算此解决方案的时间复杂性，但这应该是对蛮力方法的改进。

编辑：为了清楚起见，请注意，上面的第一个解决方案在时间复杂性上应该与暴力方法相当。在许多情况下，记忆函数应该会有所帮助，但在最坏的情况下，缓存永远不会包含有用的结果，并且时间复杂度将与第一个解决方案相同。还要注意，子集和问题是NP完全的，这意味着任何解都具有指数时间复杂性。结束编辑。

只是为了完整性，我测试了这个：

public static void main(String[] args) {
    List<Integer> data = Arrays.asList(9, 1, -3, -7, 5, -11);

    for (List<Integer> sub : subsetsWithZeroSum(data, 4))
    {
        for (int i : sub)
        {
            System.out.print(data.get(i));
            System.out.print(" ");
        }

        System.out.println();
    }
}

它打印了：

9 -3 5 -11
9 1 -3 -7