在图上寻找最便宜路径，代价由使用节点的最大权值决定
我有一个图G，它有一个开始节点S和一个结束节点E。这个图的特殊之处在于，它不是边有代价，而是节点有代价。我想找到S和E之间的方式（一组节点，W)，使max（W）最小化。（实际上，我对W不感兴趣，只对max(W)感兴趣）等价地，如果我移除所有代价大于k的节点，那么最小的k是多少，这样S和E仍然是相连的？
我有一个想法，但想知道它是否正确和最佳。下面是我当前的伪代码：
L := Priority Queue of nodes (minimum on top)
L.add(S, S.weight)
while (!L.empty) {
X = L.poll()
return X.weight if (X == G)
mark X visited
foreach (unvisited neighbour N of X, N not in L) {
N.weight = max(N.weight, X.weight)
L.add(N, N.weight)
}
}
我相信最坏的情况是O（n log n)，其中n是节点数。
下面是我的特定问题（渗流）的一些细节，但我也对这个问题的一般算法感兴趣。节点权重在0和给定的最大值之间随机均匀分布。我的节点是泊松分布在R2平面上的，当两节点之间的距离小于给定常数时，两节点之间存在边。可能有很多节点，所以它们是动态生成的（隐藏在伪代码中的foreach中）。我的起始节点位于（0,0）中，结束节点是距离（0,0）大于R的任何节点。
编辑：节点上的权重是浮点数。
共有1个答案
从一个空图开始，您可以使用快速联合/查找数据结构，以增加权重的顺序一次插入一个顶点（以及它们到现有邻居的边），以维护连接组件的集合。这就像建立最小生成树的Kruskal算法一样，但不是一次增加一条边，而是对您处理的每个顶点v，您将组合v的所有邻居的分量。
您还可以跟踪哪两个组件包含起始顶点和结束顶点。（最初comp(S)=S和comp(E)=E；在每个联合操作之前，可以检查两个输入组件X和Y以查看其中一个是comp(S)还是comp(E)，后者在O(1)次中相应地更新。）一旦这两个组件变成单个组件（即comp(S)=comp(E))，您就停止了。刚刚增加的顶点是S和E之间的路径上的最大权值顶点，它使任意顶点的最大权值最小。
[编辑：添加时间复杂性信息]
如果图中包含n个顶点和m条边，则按权重对顶点进行排序需要O(n-log-n)时间。最多会有m个union操作（因为每个边都可以用来组合两个组件）。如果使用一个简单的不相交集数据结构，所有这些并运算可以在O(m+n，logn)时间内完成，这将成为总的时间复杂度；如果还使用了路径压缩，则会下降到O（m A(n))，其中A(n)是缓慢增长的逆阿克曼函数，但由于初始排序占主导地位，所以总体时间复杂度与以前保持不变。
假设权重为整数，Pham Trung的二分搜索方法需要O((n+m)log maxW）时间，其中maxW是图中最重的顶点。在稀疏图（其中m=O(n))上，这变成O(n log maxW)，而mine变成O(n log n)，所以在这里，如果log(maxW)<
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