使用随机（7）设计随机（5）

Question

给定一个随机数生成器random（7），它可以以相等的概率生成数字1,2,3,4,5,6,7（即每个数字出现的概率为1/7）。现在我们要设计一个随机数（5），它能以相等的概率（1/5）生成1,2,3,4,5。

有一种方法：每次我们随机运行（7），只有当它生成1-5时才返回。如果是6或7，再运行一次，直到它是1-5。

我有点困惑。第一个问题是：

如何用数学方法证明每个数字发生的概率是1/5？例如，假设返回数字1的概率为P（1）。如果B表示“所选数字在1-5中”，A表示“选择1”，则根据条件概率，P（1）=P（A | B）=P（AB）/P（B）。显然P（B）是5/7。但是如果P（1）=1/5，那么P（AB）应该是1/7，为什么？我认为P（A）=1/7。有什么不对吗？

第二个问题是，该方法将一直运行，直到random（7）不返回6或7为止。如果它运行了很长时间没有返回1-5呢？我知道机会很小，但有什么办法可以防止吗？

谢谢

Answer 1

用rnd（7）滚动一个数字n（1...5）的概率是每滚动1/7。在第一次滚动中得到这样一个数字的机会是5/7，或者：在所有第一次滚动的情况下，有2/7，您需要再次滚动。

当检查某个数字n（1..5）被滚动的概率时，这会产生一系列结果：

p（n）=1/7 2/7 * (1/7 2/7 * (1/7 2/7 * (...)))

这个系列的计算结果为1/5，这是滚动特定数字n（1...5）的预期概率。

第二个问题：你有可能需要永远翻滚。有一个结果的概率是1-（2/7）^x，这很快接近1，所以你很有可能在几次掷骰中得到一个结果，但没有保证。在接下来的5分钟内，仍然无法产生大量滚动的概率比C'thulu吞没行星的概率要小，因此没有必要采取一些预防措施。如果绝对必须，则在n次内部滚动后返回1，这只会使生成的随机数的分布略有偏差。

Answer 2

第一个问题的答案由基本条件概率给出：

设X为{1,2,3,4,5}中任意k的随机数（7）：

P(X = k | X <= 5) = P(X = k)/P(X <= 5) = (1/7)/(5/7) = 1/5

这来自观察到2个事件X=k和X的交集

直到第一次成功的试验次数（其中成功是获得一个数字

为了好玩，你可以写一个简短的脚本来研究它。在Python中有一个：

from random import randint
from collections import Counter

def trials_needed():
    num = randint(1,7)
    trial = 1
    while num > 5:
        num = randint(1,7)
        trial += 1
    return trial

counts = Counter(trials_needed() for i in range(10**6))
for c,i in counts.items(): print(c,":",i)

典型运行的输出：

1 : 714212
2 : 204141
3 : 58340
4 : 16515
5 : 4814
6 : 1456
7 : 347
8 : 133
9 : 28
10 : 10
11 : 4

99%以上的时间需要少于5次试验。超过10次的试验是极其罕见的。