在长度等于 P * （元素之和） 的数组中查找子数组

Question

我们将如何测试数组中每个子数组的长度等于子数组元素之和的P倍的所有子数组组合。

一个简短的示例：编辑：

 A = [2,-1,3,0,1,2,1] , P =2

期望的结果：

1. 长度=2，P*元素之和=1。子序列是[2，-1]，[0,1]

编辑约束：

N represents number of elements in an array
1 <= N <= 1e5
-1000 <= P <= 1000
|A[i]| <= 1e6

这些问题属于什么样的问题集（例如：NP-hard？）？语言：C#

Answer 1

我试图使用动态规划来解决这个问题。在我的解决方案中，我使用了2个嵌套for循环来制作dp矩阵，因此它的时间复杂度应该为O（n^2）（不包括用于打印解决方案的3个嵌套for循环）。由于这个问题可以使用蛮力方法以及在多项式时间中使用动态规划来解决，因此它具有P复杂度。

using System;

public class Program
{
    public static void Main()
    {
        int n = 7;
        int p = 2;
        int[, ] arr = new int[n + 1, n + 1];
        int[] nums = new int[]{2, -1, 3, 0, 1, 2, 1};
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                arr[i, j] = arr[i - 1, j - 1] + nums[j - 1];
            }
        }

        for (int j = 0; j <= n; j++)
        {
            for (int k = 0; k <= n; k++)
            {
                Console.Write(string.Format("{0} ", arr[j, k]));
            }

            Console.Write(Environment.NewLine);
        }

        Console.Write(Environment.NewLine + Environment.NewLine);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            Console.WriteLine(string.Format("For length {0}:  ", i));
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                if (p * arr[i, j] == i)
                {
                    Console.Write(string.Format("{0} {1}: ", (j - i + 1), j));
                    for (int k = j - i + 1; k <= j; k++)
                    {
                        Console.Write(string.Format("{0},", nums[k - 1]));
                    }

                    Console.Write(Environment.NewLine);
                }
            }

            Console.Write(Environment.NewLine);
        }

        Console.Write(Environment.NewLine);
    }
}

您可以在dotnetfiddle上测试此代码（这是我编写的第一个c#代码，因此可能可以在代码中进行更多优化）。

Answer 2

这个问题属于P。这里有一个＜code＞O（n）

让我们用前缀和做一些代数：

j - i = p * (prefix_sum_j - prefix_sum_i)
j - i = p * prefix_sum_j - p * prefix_sum_i
j - p * prefix_sum_j = i - p * prefix_sum_i
p * prefix_sum_j - j = p * prefix_sum_i - i

JavaScript代码与暴力测试。

const f = (nums, p) =>
  nums.reduce(([map, sum, answer], val, i) => {    
    const newSum = sum + val;
    answer += p * newSum == i + 1;
    answer += map[p * newSum - i] || 0;
    map[p * newSum - i] = (map[p * newSum - i] || 0) + 1;
    return [map, newSum, answer];
  }, [{}, 0, 0])[2];


console.log('Input: [2,-1,3,0,1,2,1], 2')
console.log('Output: ' + f([2,-1,3,0,1,2,1], 2));


function bruteForce(A, p){
  let result = 0;

  for (let windowSize=1; windowSize<=A.length; windowSize++){
    for (let start=0; start<A.length-windowSize+1; start++){
      let sum = 0;

      for (let end=start; end<start+windowSize; end++)
        sum += A[end];
      
      if (p * sum == windowSize)
        result += 1;
    }
  }

  return result;
}


var numTests = 500;
var n = 20;
var m = 20;
var pRange = 10;

console.log('\nTesting against brute force...')

for (let i=0; i<numTests; i++){
  const A = new Array(n);
  for (let j=0; j<n; j++)
    A[j] = Math.floor(Math.random() * m) * [1, -1][Math.floor(Math.random()*2)];
  
  const p = Math.floor(Math.random() * pRange) * [1, -1][Math.floor(Math.random()*2)];

  _f = f(A, p);
  _brute = bruteForce(A, p);

  //console.log(String([_f, _brute, p, JSON.stringify(A)]));

  if (_f != _brute){
    console.log('MISMATCH!');
    console.log(p, JSON.stringify(A));
    console.log(_f, _brute);
    break;
  }
}

console.log('Done testing.')