k部分整数划分的秩与反秩

Question

对于正整数n和k，让“n的k-分区”是k个加起来等于n的不同正整数的有序列表，让给定n的k-分区的“秩”是它在所有这些列表的有序列表中的位置，从0开始。

例如，有两个5（n）的2分区

所以，我想做两件事：

• 给定n，k和n的k-划分，我想求n的k-划分的秩。
• 给定n，k和一个秩，我想找到n的k-划分

我能做到这一点，而不必计算n的所有k-划分，在感兴趣的k-划分之前吗？

这个问题与其他问题不同，因为我们在这里讨论的是整数分区，而不仅仅是组合。

Answer 1

这里有一个Python解决方案，它依赖于两个想法。首先，动态规划可以在不生成分区的情况下对分区进行计数。第二，如果第一个值是i，那么我们可以将其视为一个i*k框，将n-i*k划分为k-1块。

partition_cache = {}
def distinct_partition_count (n, k):
    if n < k:
        return 0
    elif n < 1:
        return 0
    elif k < 1:
        return 0
    elif k == 1:
        return 1
    elif (n, k) not in partition_cache:
        answer = 0
        for i in range(1, n/k + 1):
            answer = answer + distinct_partition_count(n - i*k, k-1)
        partition_cache[(n, k)] = answer
    return partition_cache[(n, k)]

def rank_distinct_partition (values):
    values2 = sorted(values)
    n = sum(values)
    k = len(values)
    answer = 0
    highwater = 0
    for v in values:
        rise = v - highwater
        for i in range(1, rise):
            answer = answer + distinct_partition_count(n - k*i, k-1)
        highwater = v
        ## BUG HERE: was n = n - rise
        n = n - rise * k
        k = k - 1
    return answer

def find_ranked_distinct_partition (n, k, rank):
    if k == 1 and rank == 0:
        return [n]
    elif distinct_partition_count(n, k) <= rank:
        return None
    elif rank < 0:
        return None
    else:
        i = 1
        while distinct_partition_count(n - i*k, k-1) <= rank:
            rank = rank - distinct_partition_count(n - i*k, k-1);
            i = i + 1
        answer = find_ranked_distinct_partition(n - i*k, k-1, rank)
        return [i] + [j + i for j in answer]

print(rank_distinct_partition([2, 3])
print(find_ranked_distinct_partition(5, 2, 1))