在Haskell中部分应用函数类型(a->)作为函数实例

Question

instance Functor ((->) a) where
  fmap = TODO

instance Functor ((->) a) where
  fmap = (.)

我想出了这两个：

main = do
    putStrLn . show $ (fmap (+1) (*2)) (5 :: Int)
    putStrLn . show $ (fmap (show) (+1)) 3

我的例子正确地说明了这个练习吗？

fmap给定两个参数：

null

null

我在SO上看到了一些类似的问题（比如，这个问题），这个问题几乎是我要找的，但不完全是（我只是在找函数的例子，没有别的--没有应用性，没有单子）。

Answer 1

对于函数f，fmap的实现（对于任何可能的f，已知最多只有一个实现）必须具有(a->b)->f a->f b类型，并满足以下两个函数定律：

fmap id = id
fmap (g . h) = fmap g . fmap h

当f是类型构造函数(->)r时，即f a表示r->a时，所需的类型签名是：

(a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)

（最后一对圆括号是不必要的，但我把它们留在里面，因为这样可以更容易看到“模式”），很容易看到的是(.)运算符的签名。

至于这两个定律，很明显，当你写下它们所说的话时，它们必须成立。我将通过煞费苦心地详细写出一切来证明它们：

fmap id = (.) id
        = \g -> id . g
        = \g -> (\a -> id (g a))
        = \g -> (\a -> g a)
        = \g -> g
        = id

和

fmap (g . h) = (.) (g . h)
             = \g1 -> (g . h) . g1
             = \g1 -> \a -> ((g . h) . g1) a
             = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

(fmap g) . (fmap h) = ((.) g) . ((.) h)
                    = \g1 -> ((.) g) (h . g1)
                    = \g1 -> g . h . g1
                    = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

所以那些也是一样的。