两个函子的合成是一个函子

Question

在前面的回答中，Petr Pudlak定义了cfunctor类，用于不同于从Hask到Hask的函数。使用类型族重写它，它看起来像

class CFunctor f where
  type Dom f :: * -> * -> *               -- domain category
  type Cod f :: * -> * -> *               -- codomain category
  cmap :: Dom f a b -> Cod f (f a) (f b)  -- map morphisms across categories

instance CFunctor Maybe where
  type Dom Maybe = (->)                   -- domain is Hask
  type Cod Maybe = (->)                   -- codomain is also Hask 
  cmap f = \m -> case m of
                   Nothing -> Nothing
                   Just x  -> Just (f x)

在范畴理论中，每当F:c-->D是函子，而G:d-->E是函子时，那么组成GF:c-->E也是函子。

我想用哈斯克尔来表达这一点。由于我不能编写实例CFunctor(f.g)，我引入了一个包装类：

newtype Wrap g f a = Wrap { unWrap :: g (f a) }

在编写cfunctor实例时，我得到了以下内容

instance (CFunctor f, CFunctor g, Cod f ~ Dom g) => CFunctor (Wrap g f) where
  type Dom (Wrap g f) = Dom f
  type Cod (Wrap g f) = Cod g
  cmap = undefined

Answer 1

给定函子F:C→D和G:D→E，函子组合G12月F:C→E是类别C和E之间对象的映射，例如(G_p_f)(X)=G(F(X))和态性之间的映射，例如(G_p_f)(F)=G(F(F))。

这表明您的cfunctor实例应定义如下：

instance (CFunctor f, CFunctor g, Cod f ~ Dom g) => CFunctor (Wrap g f) where
  type Dom (Wrap g f) = Dom f
  type Cod (Wrap g f) = Cod g
  cmap f = cmap (cmap f)

但是，两次组合cmap会给出DOM f a b->Cod g（g（f a））（g（f b）），而CMap在这种情况下有一个类型DOM f a b->Cod g（Wrap g f a）（Wrap g f b）。

我们可以从g(f)到Wrap GF，反之亦然，但是由于实例声明没有对COD g的结构做出任何假设，所以我们运气不好。

由于我们知道functor是类别之间的映射，所以我们可以使用Cod g是类别（在Haskell方面，这需要类别（Cod g)约束）这一事实，这给我们提供了很少的操作：

cmap f = lift? unWrap >>> cmap (cmap f) >>> lift? Wrap

但是，这需要一个方便的提升操作符lift？，它将函数从hask类别提升到cod g类别。将COD G写成(~>)，Lift？的类型必须是：

lift? :: (a -> b) -> (a ~> b)

lift? unWrap  :: Wrap g f a ~> g (f a)
cmap (cmap f) :: g (f a)    ~> g (f b)
lift? Wrap    :: g (f b)    ~> Wrap g f b

lift? unWrap >>> cmap (cmap f) >>> lift? Wrap :: Wrap g f a ~> Wrap g f b

现在，对于这个起重操作员来说，至少有两种选择：

• 您可以将constrait从类别（Cod g）扩展到箭头（Cod g），在这种情况下，举升操作员变为arr，
• 或者，正如Sjoerd Visscher在注释中提到的，您可以使用wrap和unwrap在运行时语义上是ID，在这种情况下，unsafecoerce的使用是合理的。