近似从双精度到单精度的转移

Question

我很感激每一个暗示，关于转移目标的文件实现。我已经研究了一些关于浮动精度的论文，但在过去的两周里没有取得太大的进展。

提前感谢！

Answer 1

生成多项式极小极大逼近的常用方法是使用俄罗斯数学家叶夫根尼·雷米兹于1934年发表的雷米兹交换算法。这是一个经常涉及病态方程组的数值过程。因此，它通常是在任意精度库的帮助下实现的。例如，在我使用的Remez算法的实现中，我将库配置为1024位精度。

对于表现良好的函数，Remez算法的各种变体可以找到非常接近数学极大极小多项式的逼近。正如问题中提到的，问题是当将多项式的生成系数移动到有限精度浮点计算时会发生什么。人们经常发现近似的极大极小性受到了损害，有时甚至严重地受到了损害。有两个错误来源在起作用。首先，生成的系数不能用有限精度浮点格式精确表示。第二，多项式的求值使用有限精度的运算而不是无限精度的数学运算。

第一个问题是比较容易解决的问题。从一些快速实验中可以看出，简单地将系数舍入到有限精度格式并不能实现期望的接近极小极大的结果。通过使用有限精度格式，我们基本上从一个n维连续空间转换到一个n维离散格点，为了正确地进行转换，我们需要找到最近的格点。这是一个可以解决但很难解决的问题，通常通过使用启发式使其变得更容易。相关文献：

Tor Myklebust，“在有限精度算术中计算特殊函数的精确Horner形式近似”，ArXiv手稿2015（在线）

Denis Arzelier,Florent Bréhard,Mioara Joldes,“求值和逼近误差优化多项式的交换算法”，载第26届IEEE计算机算术研讨会，2019年6月，第30-37页（在线）

请注意，第一次发布是由于我在StackOverflow上问了一个问题。