解决“计数变化”的递归记忆解决方案

Question

我试图通过记忆来解决“计数变化”的问题。

考虑下面的问题：我们可以用多少种不同的方式来换取1美元，半价、四分之一、二分硬币、五分硬币和五分硬币？更一般地说，我们可以编写一个函数来计算使用任何一组货币面额改变任何给定金额的方法的数量吗？

以及递归的直观解决方案。

使用n种硬币改变a的数量的方法数

1. 除第一种硬币外，其他所有硬币都可以换成硬币的方法，加上
2. 使用所有n种硬币改变较小数量a-d的方法的数量，其中d是第一种硬币的面额

#+BEGIN_SRC python :results output
# cache = {} # add cache 
def count_change(a, kinds=(50, 25, 10, 5, 1)):
    """Return the number of ways to change amount a using coin kinds."""
    if a == 0:
        return 1
    if a < 0 or len(kinds) == 0:
        return 0
    d = kinds[0]　# d for digit
    return count_change(a, kinds[1:]) + count_change(a - d, kinds) 
print(count_change(100))
#+END_SRC
#+RESULTS:
: 292

我试着利用记忆，

Signature: count_change(a, kinds=(50, 25, 10, 5, 1))
Source:   
def count_change(a, kinds=(50, 25, 10, 5, 1)):
    """Return the number of ways to change amount a using coin kinds."""
    if a == 0:
        return 1
    if a < 0 or len(kinds) == 0:
        return 0
    d = kinds[0]
    cache[a] = count_change(a, kinds[1:]) + count_change(a - d, kinds)
    return cache[a]

它适用于少数人，如

In [17]: count_change(120)
Out[17]: 494

在大数字上工作

In [18]: count_change(11000)                        
---------------------------------------------------------------------------
RecursionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-18-52ba30c71509> in <module>
----> 1 count_change(11000)

/tmp/ipython_edit_h0rppahk/ipython_edit_uxh2u429.py in count_change(a, kinds)
      9         return 0
     10     d = kinds[0]
---> 11     cache[a] = count_change(a, kinds[1:]) + count_change(a - d, kinds)
     12     return cache[a]

... last 1 frames repeated, from the frame below ...

/tmp/ipython_edit_h0rppahk/ipython_edit_uxh2u429.py in count_change(a, kinds)
      9         return 0
     10     d = kinds[0]
---> 11     cache[a] = count_change(a, kinds[1:]) + count_change(a - d, kinds)
     12     return cache[a]

RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

记忆解决方案有什么问题？

Answer 1

在记忆版本中，count_change函数必须考虑在进行递归调用时可以使用的最高硬币索引，以便可以使用已经计算的值。。。

def count_change(n, k, kinds):
    if n < 0:
        return 0
    if (n, k) in cache:
        return cache[n,k]
    if k == 0:
        v = 1
    else:
        v = count_change(n-kinds[k], k, kinds) + count_change(n, k-1, kinds)
    cache[n,k] = v
    return v

你可以试试：

cache = {}
count_change(120,4, [1, 5, 10, 25, 50])

给494

而：

cache = {}
count_change(11000,4, [1, 5, 10, 25, 50])

产出：9930221951