贝尔曼福特的负周期

Question

在具有V节点和E边的有向图中，Bellman-Ford算法将每个顶点（或者更确切地说，每个顶点的边）松弛（V-1）次。这是因为从源到任何其他节点的最短路径最多包含（V-1）条边。在第V次迭代中，如果边可以松弛，则表示存在负循环。

现在，我需要找到被这个负循环“摧毁”的其他节点。也就是说，由于从源到位于负循环中的节点的路径上有一个或多个节点，因此一些不在负循环中的节点现在与源的距离为负无穷远。

实现这一点的一种方法是运行Bellman Ford并注意负循环上的节点。然后，从这些节点运行DFS/BFS以标记其他节点。

然而，为什么我们不能运行Bellman-Ford 2*（V-1）次来检测这样的节点，而不诉诸DFS/BFS？如果我的理解是正确的，放松所有顶点2*（V-1）次应该允许负循环“传播”它们的值到所有其他连接的节点。

其他详细信息：我在解决此在线问题时遇到此情况：https://open.kattis.com/problems/shortestpath3

我使用的Java代码（以及此处未显示的BFS/DFS）如下所示：

  // Relax all vertices n - 1 times.
  // And relax one more time to find negative cycles
  for (int vv = 1; vv <= n; vv++) {
    // Relax each vertex
    for (int v = 0; v < n; v++) {
      // For each edge
      if (distTo[v] != (int) 1e9) {
        for (int i = 0; i < adjList[v].size(); i++) {
          int dest = adjList[v].get(i).fst;
          int wt = adjList[v].get(i).snd;

          if (distTo[v] + wt < distTo[dest]) {
            distTo[dest] = distTo[v] + wt;

            if (vv == n) {
              isInfinite[v] = true;
              isInfinite[dest] = true;
            }
          }
        }
      }
    }
  }

Answer 1

在经典情况下，所有节点“在”一个负长度循环上与源有一个任意的小距离。因此，在v-1之后的每次迭代中，从源到这些节点的路径会变得更小。该任务要求您为所有此类节点返回-infinity。

您可以使用Bellman-Ford算法的修改版本来标记所有此类节点的距离，例如-infinity，并运行它v-1次，以将-infinity传播到连接到循环的所有其他节点。但与仅从循环中的节点运行DFS或BFS相比，这需要大量额外的时间。

Answer 2

考虑图< <代码> n＝4，m＝5 < /代码>：

A -> B weight 1000
A -> C weight 1000
C -> D weight -1
D -> C weight -1
D -> B weight 1000

让A作为我们的来源，B作为目的地。

现在显然有一个负循环（C

一种解决方案是，一旦识别出影响节点的循环，就将距离标记为负无穷大。这样，负循环在通过其他节点的其他最短路径上“优先”。

您诚挚的，
一位在这个问题上花费了大量时间的程序员同事。