利用LDL分解更新cholrank1

Question

我有关于对称正定(SPD)矩阵的cholrank1更新程序（维基百科）。

function [L] = cholupdate(L,x)
    p = length(x);
    for k=1:p
        r = sqrt(L(k,k)^2 + x(k)^2);
        c = r / L(k, k);
        s = x(k) / L(k, k);
        L(k, k) = r;
        L(k+1:p,k) = (L(k+1:p,k) + s*x(k+1:p)) / c;
        x(k+1:p) = c*x(k+1:p) - s*L(k+1:p,k);
    end
end

它与LL分解一起工作。我尝试像下面这样修复过程，以便与LDL分解一起工作（即不调用sqrt）:

function [L] = cholupdate_ldl(L,x)
    p = length(x);
    for k=1:p
        r = L(k,k) + x(k)^2;
        c = r / L(k, k);
        s = x(k) / L(k, k);
        L(k, k) = r;
        L(k+1:p,k) = (L(k+1:p,k) + s*x(k+1:p)) / c;
        x(k+1:p) = sqrt(c)*(x(k+1:p) - x(k)*L(k+1:p,k));
    end
end

它运行良好，但我被迫使用SQRT。我怎样才能在完全不使用sqrt的情况下更新LDL分解呢？

Answer 1

有很多种方法。参见Gill，Golub，Murray和Saunders(1974):《计算数学中修正矩阵分解的方法》。为了正式地总结你的问题，我引用文件中的内容:

最后我们讨论算法:

下面是我在MATLAB中的实现:

function [L1,D1] = ldlt_update(L0,D0,z)

n = size(L0,1) ;
D1 = zeros(n,n) ;
L1 = zeros(n,n) ;

a = 1 ;
w = z ;
for jj = 1:n
    p = w(jj) ;
    D1(jj,jj) = D0(jj,jj) + a*p^2 ;
    b = p*a/D1(jj,jj) ;
    a = D0(jj,jj)*a/D1(jj,jj) ;
    for r = jj+1:n
        w(r) = w(r) - p*L0(r,jj) ;
        L1(r,jj) = L0(r,jj) + b*w(r) ;
    end
end
end

在上面引用的论文和Gill，Murray和Wright(1982):《实用最优化》中有一种替代算法。Brian Borchers有一套完整的MATLAB代码，用于处理实对称正定LDLT分解，如Golub和Van Loan(2013):Matrix Computations和他的网站上所定义的那样。