对称正正半对称固定尺寸（N = 9）的密集线性系统的快速求解

Question

对于固定尺寸（N = 9）（矩阵是对称的，正半确定的）的密集线性系统的快速解决方案，您会建议使用哪种算法？

• 高斯消去
• LU分解
• 胆固醇分解
• 等等？

类型是32位和64位浮点。

这样的系统将解决数百万次，因此算法在维数方面应相当快（n = 9）。

赞赏所提出算法的 健壮 C ++实现的PS示例。

1）“解决百万次”是什么意思？具有一百万个不同右手项或一百万个不同矩阵的相同系数矩阵？

数百万种不同的矩阵。

2）正数_semi_definite表示矩阵可以是奇异的（对于机器精度而言）。您想如何处理此案？只是提出一个错误，还是尝试返回一些明智的答案？

引发错误是可以的。

Answer 1

矩阵是对称的，正次中定的， Cholesky分解
严格优于LU分解。（无论矩阵的大小如何，其速度都比LU快两倍左右。资料来源：Trefethen和Bau的“数值线性代数”）

实际上，它也是小型密集矩阵的标准（来源：我在计算数学专业获得博士学位）迭代方法的效率要比直接方法低，除非系统变得足够大（快速的经验法则没什么用，但这总是很好）拥有：在任何现代计算机上，任何小于100 * 100的矩阵绝对是需要直接方法而不是迭代方法的小矩阵）

现在，我不建议自己这样做。那里有大量经过全面测试的优秀库。但是，如果我不得不推荐您一个，那就是Eigen：

• 无需安装（仅标头库，因此无需链接的库，仅#include <>）
• 健壮高效（它们在主页上有很多基准测试，结果不错）
• 易于使用且有据可查

顺便说一下，在此文档中，您可以在一个简洁的表格中找到其7个直接线性求解器的优缺点。看来您的情况是LDLT（Cholesky的一种变体）获胜