如何（便宜地）计算n个可能元素的所有可能的length-r组合

Question

在不求助于蛮力技术或任何需要STL的情况下，计算n个可能元素的所有可能的length-r组合的最快方法是什么？

在为数据结构课程中的最终项目开发Apriori算法时，我开发了一个有趣的解决方案，该解决方案使用了移位和递归，下面将向有
兴趣的人分享一下答案。但是，这是实现此目标的最快方法（不使用任何公共库）吗？

出于好奇，我提出的要求更多，因为我目前拥有的算法可以很好地满足我的目的。

Answer 1

这是我为解决此问题而开发的算法。它当前仅将每个组合输出为一系列的一和零，但是可以很容易地调整为根据可能的元素数组创建数据集。

void r_nCr(const unsigned int &startNum, const unsigned int &bitVal, const unsigned int &testNum) // Should be called with arguments (2^r)-1, 2^(r-1), 2^(n-1)
{
    unsigned int n = (startNum - bitVal) << 1;
    n += bitVal ? 1 : 0;

    for (unsigned int i = log2(testNum) + 1; i > 0; i--) // Prints combination as a series of 1s and 0s
        cout << (n >> (i - 1) & 1);
    cout << endl;

    if (!(n & testNum) && n != startNum)
        r_nCr(n, bitVal, testNum);

    if (bitVal && bitVal < testNum)
        r_nCr(startNum, bitVal >> 1, testNum);
}

这个怎么运作：

此函数将元素的每种组合视为一和零的序列，然后可以相对于一组可能的元素来表达
（但在此特定示例中不是）。

例如，3C2的结果（来自3个可能元素的长度2的所有组合）可以表示为011、110和101。如果所有可能元素的集合为{A，B，C}，则结果可以针对此集合表示为{B，C}，{A，B}和{A，C}。

为了便于说明，我将计算5C3（由5个可能的元素组成的所有长度为3的组合）。

此函数接受3个参数，所有参数均为无符号整数：

第一个参数是可能的最小整数，其二进制表示形式的1等于我们创建的组合的长度。这是生成组合的起始值。对于5C3，这将是00111b或十进制的7。

第二个参数是起始编号中设置为1的最高位的值。这是创建组合时要减去的第一位。对于5C3，这是从右边开始的第三位，其值为4。

第三个参数是从右起第n位的值，其中n是我们正在组合的可能元素的数量。此数字将按位与我们创建的组合进行校验，以检查组合的最左边的位是1还是0。对于5C3，我们将使用右边的第5位，即10000b或16十进制。

以下是函数执行的实际步骤：计算startNum-bitVal，向左位移一位，如果bitVal不为0，则加1。
对于第一次迭代，结果应与startNum相同。这样一来，我们就可以在函数中打印出第一个组合（等于startNum），因此我们不必提前手动进行操作。此操作的数学运算如下：

00111 - 00100 = 00011    
00011 << 1 = 00110   
00110 + 1 = 00111

1. 先前计算的结果是新的组合。使用此数据做些事情。

我们将把结果打印到控制台。这是使用
for循环完成的，该循环的变量起始数量等于我们正在使用的位数（通过将testNum的log2加上1； log2（16）+ 1 = 4
+ 1 = 5 计算得出），并结束于0.每次迭代，我们将i-1右移，并通过将结果与1 相加来打印最右边的位。这是数学公式：

i=5:
00111 >> 4 = 00000
00000 & 00001 = 0

i=4:
00111 >> 3 = 00000
00000 & 00001 = 0

i=3:
00111 >> 2 = 00001
00001 & 00001 = 1

i=2:
00111 >> 1 = 00011
00011 & 00001 = 1

i=1:
00111 >> 0 = 00111
00111 & 00001 = 1

output: 00111

1. 如果n的最左位（步骤1中的计算结果）为0并且n不等于startNum，则使用n作为新的startNum递归。
   显然，这将在第一次迭代时被跳过，因为我们已经
   表明n等于startNum。这在随后的
   迭代中变得很重要，我们将在后面看到。

如果bitVal大于0且小于testNum，则以当前迭代的原始startNum作为第一个参数进行递归。第二个参数是bitVal右移1（与整数除以2相同）。
现在我们递归，将新的bitVal设置为
当前bitVal右边的下一位的值。下一位是
在下一次迭代中减去的位。

继续递归直到bitVal等于零。
因为在第二个递归调用中bitVal向右移了一位，所以我们
最终将在bitVal等于0时到达一个点。此算法扩展为
树，并且当bitVal等于0且最左边的位为1时，我们返回
距我们当前位置一层。最终，这将一直级联
到根。

在此示例中，树具有3个子树和6个叶节点。现在，我将逐步
浏览第一个子树，该子树由1个根节点和3个叶节点组成。

我们将从第一次迭代的最后一行开始，即

if (bitVal)
        r_nCr(startNum, bitVal >> 1, testNum);

So we now enter the second iteration with startNum=00111(7), bitVal =
00010(2), and testNum = 10000(16) (this number never changes).

Second Iteration

Step 1:

n = 00111 - 00010 = 00101 // Subtract bitVal
n = 00101 << 1 = 01010 // Shift left
n = 01010 + 1 = 01011 // bitVal is not 0, so add 1

Step 2: Print result.

Step 3：bitVal不为0，因此将bitVal右移1进行递归。现在，我们
进入第四次迭代，其中startNum = 01011（11），bitVal = 00001（1）和
testNum = 10000（16）。

Third Iteration

Step 1:

n = 01011 - 00010 = 01001 // Subtract bitVal
n = 01001 << 1 = 10010 // Shift left
n = 10010 + 1 = 10011 // bitVal is not 0, so add 1

Step 2: Print result.

Step 3: The left-most bit is 1, so do not recurse.

Step 4: bitVal is not 0, so recurse with bitVal shifted right by 1. We now
enter the fourth iteration with startNum=01011(11), bitVal = 00001(1), and
testNum = 10000(16).

Fourth Iteration

Step 1:

n = 01011 - 00001 = 01010 // Subtract bitVal
n = 01010 << 1 = 10100 // Shift left
n = 10100 + 1 = 10101 // bitVal is not 0, so add 1

Step 2: Print result.

Step 3: The left-most bit is 1, so do not recurse.

Step 4: bitVal is not 0, so recurse with bitVal shifted right by 1. We now
enter the fifth iteration with startNum=01011(11), bitVal = 00000(0), and
testNum = 10000(16).

Fifth Iteration

Step 1:

n = 01011 - 00000 = 01011 // Subtract bitVal
n = 01011 << 1 = 10110 // Shift left
n = 10110 + 0 = 10110 // bitVal is 0, so add 0
// Because bitVal = 0, nothing is subtracted or added; this step becomes just a straight bit-shift left by 1.

步骤2：列印结果。

步骤3：最左边的位是1，所以不要递归。

步骤4：bitVal为0，因此请勿递归。

返回第二个迭代

步骤4：bitVal不为0，因此使用bitVal右移1进行递归。

这将一直持续到树的第一层的bitVal = 0为止，然后
返回到第一次迭代，这时我们将
完全从函数中返回。

这是一个简单的图，显示了函数的树状扩展： 该图显示了递归扩展

这是一个更复杂的图，显示了函数的
执行线程：Diagrom显示执行线程

这是一个使用逐位或替代加法和
逐位异或替代减法的替代版本：

void r_nCr(const unsigned int &startNum, const unsigned int &bitVal, const unsigned int &testNum) // Should be called with arguments (2^r)-1, 2^(r-1), 2^(n-1)
{
    unsigned int n = (startNum ^ bitVal) << 1;
    n |= (bitVal != 0);

    for (unsigned int i = log2(testNum) + 1; i > 0; i--) // Prints combination as a series of 1s and 0s
        cout << (n >> (i - 1) & 1);
    cout << endl;

    if (!(n & testNum) && n != startNum)
        r_nCr(n, bitVal, testNum);

    if (bitVal && bitVal < testNum)
        r_nCr(startNum, bitVal >> 1, testNum);
}