对数（log）的换算公式

对数公式的换算，对于算法复杂度的推导非常重要。但是我总忘，这次特地总结一下常用的对数公式，以备后用。

名称	公式
和差	${\log }_{\alpha }MN={\log }_{\alpha }M+lo{g}_{\alpha }N$
换底公式	${\log }_{\alpha }x=\frac{{\log }_{\beta }x}{{\log }_{\beta }\alpha }$
次方公式	${\log }_{a^n}{x}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}x$
互换	$M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$
倒数	${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{1}{{\log }_{b}a}$
链式	${\log }_{\gamma }\beta {\log }_{\beta }\alpha =\frac{\ln \beta }{\ln \gamma }\frac{\ln \alpha }{\ln \beta }=\frac{\ln \alpha }{\ln \gamma }={\log }_{\gamma }\alpha$
还原	${\alpha }^{{\log }_{\alpha }x}=x={\log }_{\alpha }{\alpha }^x$

注：公式总结自维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0。

基底是$e$还是2的问题

在一些计算机相关的领域，书写$\log$函数时经常会省略基底（base），例如时间复杂度$O(\log N)$，或者在机器学习领域用来做多分类的交叉熵损失函数：$L_{ce}(x,y)=-{\sum }_{c=1}^M{y}_{o,c}\log (p_{o,c})$，这个时候我们会想知道这些$\log$函数的基底到底是数学常数$e$还是2？

一般情况下，算法复杂度和信息论领域（例如交叉熵）的$\log$计算都是以2为底，但也有少部分以$e$为底的情况。其实我们对$\log$的基底无需过分担心，因为以$e$为底得出的结果与以2为底得出的结果比值是个常数，使用换底公式即可求得：
$$\frac{{\log }_{e}N}{{\log }_{2}N}=\frac{{\log }_{k}N}{{\log }_{k}e}/\frac{{\log }_{k}N}{{\log }_{k}2}=\frac{{\log }_{k}2}{{\log }_{k}e}={\log }_{e}2.$$
因此，我们不应该过分关注$\log$函数的基底是$e$还是2的问题，它们计算结果的比值总是一个常数，采用任何一个基底都不会对要解决的问题本身产生影响。