RMQ

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(i,j)，返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。

本文介绍一种比较高效的ST算法解决这个问题。ST（Sparse Table）算法可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

 

1）预处理

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

 

我们把F[i，j]平均分成两段（因为F[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

 

2)查询

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询1，2，3，4，5，我们可以查询1234和2345）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[1，5]的最大值，k = log2（5 - 1 + 1）= 2，即求max(F[1, 2]，F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2]，F[2, 2])；

void ST(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        dp[i][0] = A[i];
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int RMQ(int l, int r) {
    int k = 0;
    while ((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++;
    return max//min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}

原地址https://blog.csdn.net/qq_31759205/article/details/75008659

己定了一个计划，刷穿bzoj。于是她每天把oj上连续的几道题给写一遍，这样持续了n天。现在宝儿姐想知道有多少天自己
是处于特别强的状态。某一天，如果宝儿姐那天刷的所有题目，n天后已经都刷过了至少3遍，那么那天就是很强的状。
给你宝儿姐n天的刷题状况，请你帮她算算吧。

 

输入

第一行一个case代表测试实例（case<=3）
第二行两个数n和m，分别代表宝儿姐刷题的天数和最大题号。（1<=n,m<=1e5）
接下来n行每行两个数字l, r，代表宝儿姐在那天刷题号的起点和终点。（l,r<=m）

 

输出

一个数字，代表宝儿姐处于很强的状态的天数。

 

样例输入

1
6 5
1 5
2 4
3 4
2 3
4 5
1 1

 

样例输出

3

 

提示

宝儿姐的第2,3,4天处于很强的状态

//区间修改后再区间查询最小值，可以直接用线段树操作
//此代码是用前缀数组进行区间修改，rmq进行区间查询最小值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100050;

int l[maxn] , r[maxn];
int m , dp[maxn][33] , a[maxn];
void RMQ(){
    int n = m;
    for (int i=1; i<=n; i++)  dp[i][0] = a[i];
    for (int j=1; (1<<j)<=n; j++)
        for (int i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++)
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1] , dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int main(){
    int cas;
    scanf("%d", &cas);
    while (cas -- ){
        int n;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(a, 0, sizeof a);

        for (int i=1; i<=n; i++)  {
            scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
            a[l[i]] ++ , a[r[i]+1] --;
        }
        for (int i=1; i<=m; i++)  a[i] += a[i-1];
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        RMQ();

        int ans = 0;
        for (int i=1; i<=n; i++){
            int x = l[i];
            int y = r[i];
            int l = log(y-x+1.0) / log(2.0);
            int num = min(dp[x][l] , dp[y-(1<<l)+1][l]);
            if (num >= 3)  ans ++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}