解析数论 2: Abel求和法

Abel求和法

经典的Abel求和法，即Abel变换，是指将有限个两项乘积之和，转换成含有其中一项部分和的乘积之和的过程。

定理 1 (Abel变换) 设 { a n } n = 0 ∞ \{a_n\}_{n=0}^{\infty} {an​}n=0∞​和 { b n } n = 0 ∞ \{b_n\}_{n=0}^{\infty} {bn​}n=0∞​是两个复数列，对任意$N\in \mathbb{Z},M\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有
$$\sum _{N<n\le N+M}{a}_n{b}_n=A_{N+M}{b}_{N+M+1}+\sum _{N<n\le N+M}{A}_n(b_n-b_{n+1}),$$其中$A_n:={\sum }_{N<m\le n}{a}_m(n\ge 0)$. 特别的，若
sup ⁡ N &lt; n ≤ N + M ∣ A n ∣ ≤ A , { b n } n = 0 ∞ 非 负 且 单 调 下 降 ， \sup_{N&lt;n\leq N+M}|A_n|\leq A,\{b_n\}_{n=0}^{\infty}非负且单调下降， N<n≤N+Msup​∣An​∣≤A,{bn​}n=0∞​非负且单调下降，那么
$$|\sum _{N<n\le N+M}{a}_n{b}_n|\le A{b}_{N+1}.$$

定理 2 (Abel判别法) 设 { a n } n = 0 ∞ \{a_n\}_{n=0}^{\infty} {an​}n=0∞​是复数列， { b n } n = 0 ∞ \{b_n\}_{n=0}^{\infty} {bn​}n=0∞​是非负且单调下降的实数列，若
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0,\underset{N\ge 0}{\sup }|\sum _{0\le n\le N}{a}_n|\le A,$$那么，级数${\sum }_{n\ge 0}{a}_n{b}_n$收敛，且
$$|\sum _{n>N}{a}_n{b}_n|\le 2A{b}_{N+1}.$$

定理 3 设 { a n } n = 0 ∞ \{a_n\}_{n=0}^{\infty} {an​}n=0∞​ 是复数列，令$$A(t):=\sum _{n\le t}{a}_n(t>0),$$那么对任意函数 $b\in {\mathcal{C}}^1([1,x])$ 有
$$\sum _{1\le n\le x}{a}_{n}b(n)=A(x)b(x)-{\int }_1^{x}A(t)b^{\prime }(t)dt.$$

定理 4 (第二中值公式) 设 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上的单调函数，$g$ 是其上的可积函数。那么存在实数 $\xi$, $a\le \xi \le b$, 使得$${\int }_a^{b}f(t)g(t)dt=f(a){\int }_a^{\xi }g(t)dt+f(b){\int }_{\xi }^{b}g(t)dt.$$