机器学习中的数学——距离定义（二十四）：F-散度（F-Divergence）

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F-散度（F-Divergence）是KL散度的一个推广：
$$D_F(p||q)=\int q(x)f(\frac{p(x)}{q(x)})$$

其中，函数$f(x)$需要满足下列2个性质：

• $f(x)$是一个凸函数
• $f(1)$=0

若$f(x)=x\log x$，则F-散度退化为KL散度；若$f(x)=-\log x$，则F-散度退化为reverse KL散度。甚至，当$f(x)$取某些值时，还可以表达$\alpha$-散度。下面的表格给出了F-散度的一些特例：

散度（Divergence）	对应的$f(x)$
KL散度	$x\log x$
reverse KL散度	$-\log x$
海林格距离	$(\sqrt{x}-1{)}^2$
卡方距离	$(t-1{)}^2$
$\alpha$-散度	$\frac{4}{1-{\alpha }^2}(1-x^{\frac{1+\alpha }{2}})(\alpha \ne \pm 1)$
KL散度	$x\log x$
KL散度	$x\log x$

下面我们来看一下海林格距离的Python实现：

def f(t):
    return t*np.log(t)

def F_Divergence(p, q):
    import numpy as np
    p = np.array(p)
    q = np.array(q)
    M = (p + q)/2
    return np.sum(q*f(p/q))