【统计学学习笔记】第七章 假设检验（hypothesis testing）

1. 假设建议的理解：

假设检验，顾名思义：是对猜想（假设）的检验，即通过一些数学的方法，定量的说明自己猜想是否成立的过程。而这个定量说明的过程，其实就是算概率的过程。【用算出的概率和小概率进行比较，代表结论的正确性】

1.1 得出的第一步：提出假设（猜想）

• 猜想：通过观察，总结出来的可能成立的结论

比如说：小明惊奇的发现，自己周围的女生学业成绩普遍比男生更好，于是小明提出了一个大胆的猜想——女生的学业成绩总体好于男生。

1.2 为什么假设会出错：万恶的抽样误差

上述过程，是一个用样本估计总体的过程。这样的过程，我们在上文《参数估计》中也有提到，并且在区间估计中还说到“这样用样本估计总体的行为是有可能发生错误的”，而造成这个错误的原因是由于存在抽样误差。

• 抽样误差：测量样本和总体特征近似程度的量数，即样本统计量和总体参数之间的差。
• 偶然因素：一些不能控制的，或者没注意到的误差。

换句话来说，可能只是恰巧在小明周围的女生学业水平比男生好，或者是一些偶然因素导致小明周围女生学业成绩更好，不能说明所有的女生学业水平普遍比男生好。【样本不等于总体】

抽样误差可以通过合理的选择抽样方法来减少，但是很难根除的。

1.3 何为显著性：偶然因素影响结果的概率

刚才我们说道：抽样误差能够减少，但是很难根除，并且偶然因素不受人们的控制。但是，只是因为存在抽样误差和偶然误差，就放弃自己的假设未免有些不太好。因此人们提出了一个新的概念：叫做显著性水平，来衡量忽略由于 处理因素或需要检验的因素 引起的所需要承担的风险。

• 显著性水平：指当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。

比如说：小明在考试中分数比小红低，那么能说明小红的成绩比小明好吗？由于考试存在各种偶然因素，所以我们并不能如此草率的下结论。但是如果存在这样的情况呢？

1. 小明老是考的比小红低
2. 小明这次考的比小红低了很多分

这样能不能得出上边的结论呢？可能我们也不能保证，但是我们可以知道的是“小红成绩好于小明”是真的的概率，更大了。当这个概率达到一定的程度【超过阈值】的时候，我们就可以说，这个结论是对的了。

• 接受阈值：能够接受的犯错概率的临界值（通常取$0.05$或者$0.01$）

1.4 小小的总结：

假设检验可以从两个方面进行理解，实际上二者讲的是同一个问题。

• 一次实验中小概率事件不可能发生：

  1. 根据自己的假设，计算对应现实情况【已经遇到的】发生的概率。
  2. 若概率小于阈值，则说明假设不成立。
  3. 因为在一次实验中小概率事件不可能发生，如果发生说明假设存在错误【不成立】。

• 犯错概率能够接受：

  1. 根据自己的假设，计算这个假设出现错误的概率。
  2. 若概率小于阈值，则说明假设成立。
  3. 因为犯错的概率极其的小，所以能够接受。

2. 假设检验的数学过程

假设检验主要是对两个变量之间差异的检验

2.1 相关概念：

• 零假设（null hypothesis）：假设正在研究的两个变量之间是等同的或者无关的。
• 研究假设（research hypothesis）：不等价陈述，假定变量间存在一定的关系。
  1. 无方向假设：反映群体间的差异，但差异的方向是不确定的。
  2. 有方向假设：反映群体间的差异，且差异的方向是确定的。

一个例子：

假设研究内容为：男生和女生的记忆考试的平均成绩是否存在差异？

零假设（$H_0：{\mu }_1={\mu }_2$）：男生和女生的记忆考试的平均成绩不存在差异？

研究假设（$H_1$）：

1. 无方向假设（$H_1：{\mu }_1\ne {\mu }_2$）：男生和女生的记忆考试的平均成绩存在差异？
2. 有方向假设（$H_1：{\mu }_1>{\mu }_2$）：男生和女生的记忆考试的平均成绩高于女生？【低于同理】

• 第一类错误（弃真【$\alpha$】错误）：在零假设真实的情况下，拒绝零假设。【错杀】
• 第二类错误（取伪【$\beta$】错误）：在零假设虚假的情况下，接受零假设。【放过】

在样本量不变的情况下，不能同时减少第一类和第二类错误，往往会根据实际情况进行取舍

• 如检测新冠肺炎：宁可错杀，也不可放过【因为放过带来的代价远大于错杀】

如果你是一个贪心的人，握了握拳头说：我全都要！那么不好意思，只能去找更多的样本。

2.2 假设检验的步骤

在此以一个例子进行说明：

据报道，高校大学生平均每周上网时间为8小时，某校统计小组随机调查了该校100名学生，得知他们平均每周上网课时间为6.5小时，样本标准差为2小时。设大学生每周上网时间服从正态分布，问在显著性水平$\alpha =0.05$下，能否认为该校学生每周上网时间明显低于$8$小时？