贝叶斯公式（Bayesian）的学习

贝叶斯公式（个人理解版）

$P(X|Y)=事件X在事件Y中发生的概率=\frac{事件X和Y同时发生的概率}{事件X发生的概率}=\frac{P(XY)}{P(X)}=\frac{P(X|Y)\times P(Y)}{P(X)}$

理解思路

宋浩老师的《概率论与数理统计》中对贝叶斯公式是这么举例说明的：

• 原因→结果
• 感冒→发烧
• 肺炎→发烧
• 白血病→发烧
• 失恋 →发烧

全概率公式中是根据原因计算出结果，即计算感冒的人有多少发烧，加上肺炎的人有多少发烧，加上白血病发烧，加上失恋发烧最终得出，不考虑原因的情况下发烧的概率：

每种病症的概率已知：$P(感冒)、P(肺炎)、P(白血病)、P(失恋)$ 。
每种病症发烧的概率也已知：$P(发烧|感冒)、P(发烧|肺炎)、P(发烧|白血病)、P(发烧|失恋)$。

计算：
发烧的概率：$P(发烧)=P(感冒)P(发烧|感冒)+P(肺炎)P(发烧|肺炎)+P(白血病)P(发烧|白血病)+P(失恋)P(发烧|失恋)$



贝叶斯公式要做的是，通过结果计算原因，即我们知道一个人发烧了，分别计算他感冒引起发烧的概率$P(感冒|发烧)$、肺炎引起发烧的概率$P(肺炎|发烧)$、白血病引起发烧的概率$P(白血病|发烧)$和失恋引起发烧的概率$P(失恋|发烧)$。

每种病症的概率已知：$P(感冒)、P(肺炎)、P(白血病)、P(失恋)$ 。
每种病症发烧的概率也已知：$P(发烧|感冒)、P(发烧|肺炎)、P(发烧|白血病)、P(发烧|失恋)$。
发烧的概率已知：$P(发烧)$

计算：
发烧是因为感冒的概率:$P(感冒|发烧)=\frac{P(感冒\cdot 发烧)}{P(发烧)}=\frac{P(感冒)P(发烧|感冒)}{P(发烧)}$

发烧是因为肺炎的概率:$P(肺炎|发烧)=\frac{P(肺炎\cdot 发烧)}{P(发烧)}=\frac{P(肺炎)P(发烧|肺炎)}{P(发烧)}$

发烧是因为白血病的概率:$P(白血病|发烧)=\frac{P(白血病\cdot 发烧)}{P(发烧)}=\frac{P(白血病)P(发烧|白血病)}{P(发烧)}$

发烧是因为失恋的概率:$P(失恋|发烧)=\frac{P(失恋\cdot 发烧)}{P(发烧)}=\frac{P(失恋)P(发烧|失恋)}{P(发烧)}$

推算过程

$P(X,Y)=P(Y)P(X|Y)$ 或 $P(X)P(Y|X)$

所以 $P(Y)P(X|Y)=P(X)P(Y|X)$

所以 $P(X|Y)=\frac{P(Y|X)\times P(X)}{P(Y)}$