GSL 系列 4 — 特殊函数 2 — 艾里 (Airy) 函数
0 写在前面
对以下变量参见：GSL 系列 4 — 特殊函数 1 — 用法，结果类，模式
gsl_sf_result * result
gsl_mode_t mode
1 头文件
若无特别说明，本篇代码均来自头文件 gsl_sf_airy.h
2 艾里 (Airy) 函数和导数
2.1 基本介绍1
2.1.1 艾里方程（斯托克斯方程）
y ′ ′ − x y = 0 y^{\prime \prime}-x y=0 y′′−xy=0
2.1.2 艾里函数
此方程有两个线性独立解：
Ai
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
cos
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
\operatorname{Ai}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) d t
Ai(x)=π1∫0∞cos(3t3+xt)dt
B
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
e
(
−
t
3
3
+
x
t
)
+
sin
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{\left(-\frac{t^{3}}{3}+x t\right)}+\sin \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) d t
Bi(x)=π1∫0∞e(−3t3+xt)+sin(3t3+xt)dt
2.1.3 艾里函数正极限
当
x
x
x 趋于正无穷，
Ai
(
x
)
∼
e
−
2
3
x
3
/
2
2
π
x
1
/
4
\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3} x^{3 / 2}}}{2 \sqrt{\pi} x^{1 / 4}}
Ai(x)∼2πx1/4e−32x3/2
Bi
(
x
)
∼
e
2
3
x
3
/
2
π
x
1
/
4
\operatorname{Bi}(x) \sim \frac{e^{\frac{2}{3} x^{3 / 2}}}{\sqrt{\pi} x^{1 / 4}}
Bi(x)∼πx1/4e32x3/2
2.2 计算函数
int gsl_sf_airy_Ai_e(const double x, const gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai(const double x, gsl_mode_t mode);
int gsl_sf_airy_Bi_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled Ai(x):
* Ai(x) x < 0
* exp(+2/3 x^{3/2}) Ai(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Ai_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled Bi(x):
* Bi(x) x < 0
* exp(-2/3 x^{3/2}) Bi(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Bi_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
2.4 计算导数
int gsl_sf_airy_Ai_deriv_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_deriv(const double x, gsl_mode_t mode);
int gsl_sf_airy_Bi_deriv_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_deriv(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled derivative Ai'(x):
* Ai'(x) x < 0
* exp(+2/3 x^{3/2}) Ai'(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Ai_deriv_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Ai_deriv_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
/* scaled derivative:
* Bi'(x) x < 0
* exp(-2/3 x^{3/2}) Bi'(x) x > 0
*
* exceptions: none
*/
int gsl_sf_airy_Bi_deriv_scaled_e(const double x, gsl_mode_t mode, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_Bi_deriv_scaled(const double x, gsl_mode_t mode);
2.5 计算零点
计算艾里函数的第 s s s 个零点
/* Zeros of Ai(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Ai_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Ai(unsigned int s);
/* Zeros of Bi(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Bi_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Bi(unsigned int s);
计算艾里函数导数的第 s s s 个零点
/* Zeros of Ai'(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Ai_deriv_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Ai_deriv(unsigned int s);
/* Zeros of Bi'(x)
*/
int gsl_sf_airy_zero_Bi_deriv_e(unsigned int s, gsl_sf_result * result);
double gsl_sf_airy_zero_Bi_deriv(unsigned int s);