X-Y非线性关系或U型倒U型曲线的检验

      如何检验X和Y是U型或倒U型关系，以及如何进行非线性关系的调节与中介效应分析？其实，思路和线性模型相似，只是需要将自变量X构建出非线性变量即X的平方或二次项（X2），然后构建Y=a0+a1X+a2X2的回归方程。

    首先检验非线性关系是否成立，也就是二次项X2的系数a2具有统计学意义。当二次项的系数显著时即表示非线性关系成立，要么是U型，要么是倒U型，具体看a2的符号。但为了更直观的了解这种非线性关系，我们还需要画出曲线图。此时，我们只需要将X求出不同的取值，然后计算对应的Y值，画出图形即可。通常可以选五个点，例如X取 M-2SD、M-SD、M、M+SD、M+2SD时对应的五个Y值，其中M为均值，S为标准差，利用Excel画出相应的折线图即可。不过，在涉及U型或倒U型时，曲线的顶点非常重要，因此根据抛物线原理求出顶点的（X0，Y0）坐标就显得很关键了，确认顶点的X取值X0后，可以以X0为中心分别取其上下1个和两个标准差的X值，再求出对应的Y值，然后画出曲线图。

    当涉及非线性的调节中介效应时，只需要将以上思路引入有调节的中介作用模型中即可。例如构建以中介变量为因变量的非线性X-M模型，然后分析非线性的中介或调节效应。这里最关键的是中介效应和调节效应如何表示，这不仅仅是传统线性模型的系数相乘，还涉及到X自身的取值问题。可以参考罗盛强的《管理学问卷调查研究方法》第14章“复杂的中介效应和调节效应”。

   最后，用什么软件来处理比较好呢？第一个是SPSS的辅助插件，由Hayes等人开发，例如Medcurve；第二是各种编程软件，如Mplus、R等。