Lagrange插值
Lagrange插值
问题提出
如果要确定一条函数图像，那我们能得到的点越多越好，最好任取一点都可以确定才好。但是实际应用中不可能确定无数个点，我们要做的就是根据已知的几个点来确定一条误差不太大的曲线。
多项式函数来模拟
我们希望能构造一个多项式函数来模拟，多项式函数满足以下条件（用多项式的原因是因为求导方便？后续再学）。
-
p
n
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
3...
,
n
,
n
+
1
p_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,3...,n,n+1
pn(xi)=yi,i=1,2,3...,n,n+1
//注意， n + 1 n+1 n+1个结点确定 n n n次方多项式函数(原因后补）
多项式函数构造
举个例子
对于一个区间 x ∈ [ a , b ] x\in\left[a,b\right] x∈[a,b],构造一个函数使得 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0, f ( b ) = 1 f(b)=1 f(b)=1,易得 f ( x ) = x − a b − a f(x)=\frac{x-a}{b-a} f(x)=b−ax−a.
实战
该函数由
n
+
1
n+1
n+1个节点构造而来，也就是说对于
x
i
,
f
(
x
i
)
x_{i},f(x_{i})
xi,f(xi)
(可拆成n+1个多项式函数之和)
要满足条件
-
x = x i 时 , f ( x i ) = y i x=x_{i}时,f(x_{i})=y_{i} x=xi时,f(xi)=yi
-
任 意 x i , 都 要 让 l ( x i ) = 1 , l ( x ≠ x i ) = 0 任意x_{i},都要让l(x_{i})=1,l(x\neq\ x_{i})=0 任意xi,都要让l(xi)=1,l(x= xi)=0
所以可得 l i ( x ) = ( x − x 0 ) . . . ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) . . . ( x − x n ) ( x i − x 0 ) . . . ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) . . . ( x i − x n ) l_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})} li(x)=(xi−x0)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi−xn)(x−x0)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−xn)
p n ( x ) = ∑ i = 0 n y i l i ( x ) , i = 0 , . . . , n p_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),i=0,...,n pn(x)=i=0∑nyili(x),i=0,...,n
插值余项
R n = ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) w ( x ) R_{n}=\frac\ {(n+1)!}\ {f^{(n+1)}(\xi)} \ w(x) Rn=(n+1)! f(n+1)(ξ) w(x)
问题还未全部解决
L a g r a n g e 插 值 不 能 保 证 插 值 函 数 在 每 个 节 点 的 导 数 值 与 f ′ ( x ) 相 等 Lagrange插值不能保证插值函数在每个节点的导数值与f'(x)相等 Lagrange插值不能保证插值函数在每个节点的导数值与f′(x)相等