关于背包问题的一些理解和应用

1.背包问题介绍

背包问题不单单是一个简单的算法问题，它本质上代表了一大类问题，这类问题实际上是01线性规划问题，其约束条件和目标函数如下：

自从dd_engi在2007年推出《背包问题九讲》之后，背包问题的主要精髓基本已道尽。本文没有尝试对背包问题的本质进行扩展或深入挖掘，而只是从有限的理解（这里指对《背包问题九讲》的理解）出发，帮助读者更快地学习《背包问题九讲》中的提到的各种背包问题的主要算法思想，并通过实例解释了相应的算法，同时给出了几个背包问题的经典应用。

2.背包问题及应用

dd_engi在《背包问题九讲》中主要提到四种背包问题，分别为：01背包问题，完全背包问题，多重背包问题，二维费用背包问题。本节总结了这几种背包问题，并给出了其典型的应用以帮助读者理解这几种问题的本质。

2.101背包问题

（1）问题描述

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

（2）状态转移方程

其中，f(i,v) 表示从前i件物品选择若干物品装到容量为v的背包中产生的最大价值。当v=0时，f(i,v)初始化为0，表示题目不要求背包一定刚好装满，而f(i,v)=inf/-inf（正无穷或负无穷）表示题目要求背包一定要刚好装满。下面几种背包类似，以后不再赘述。

（3） 伪代码

从转移方程上可以看出，前i个物品的最优解只依赖于前i-1个物品最优解，而与前i-2，i-3,…各物品最优无直接关系，可以利用这个特点优化存储空间，即只申请一个一维数组即可，算法时间复杂度（O(VN)）为:

for i=1..N
 
  for v=V..0
 
    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意v的遍历顺序！！！

下面几种背包用到类似优化，以后不再赘述。

（4） 举例

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

计算顺序是：从右往左，自上而下：

（2）背包刚好装满

计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

（5） 经典题型

[1] 你有一堆石头质量分别为W1,W2,W3…WN.(W＜＝100000,N <30)现在需要你将石头合并为两堆，使两堆质量的差为最小。

[2] 给一个整数的集合，要把它分成两个集合，要两个集合的数的和最接近

[3] 有一个箱子容量为V（正整数，0≤V≤20000），同时有n个物品（0小于n≤30），每个物品有一个体积（正整数）。要求从n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

2.2完全背包问题

（1）问题描述

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

（2）状态转移方程

或者：

（3） 伪代码

for i=1..N
 
  for v=0..V
 
    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意v的遍历顺序！！！

注意，时间复杂度仍为：O(VN).

（4） 举例

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

计算顺序是：从左往右，自上而下：

（2）背包刚好装满

计算顺序是：从左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

（5） 经典题型

[1] 找零钱问题：有n种面额的硬币，每种硬币无限多，至少用多少枚硬币表示给定的面值M？

2.3多重背包问题

（1）问题描述

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

（2）状态转移方程

（3） 解题思想

用以下方法转化为普通01背包问题：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。这种方法能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。这个很容易证明，证明过程中用到以下定理：任何一个整数n均可以表示成：n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^k,其中ak=0或者1(实际上就是n的二进制分解)，

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

该定理的证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）

该算法的时间复杂度为：O(V*sum(logn[i])).

（4） 经典题型

[1] 找零钱问题：有n种面额的硬币，分别为a[0], a[1],…, a[n-1]，每种硬币的个数为b[0], b[1],…, b[n-1]，至少用多少枚硬币表示给定的面值M？

2.4二维费用背包

（1）问题描述

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问 怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种 背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

（2）状态转移方程

（3）算法思想

采用同一维情况类似的方法求解

（4）经典题型

有2n个整数，平均分成两组，每组n个数，使这两组数的和最接近。

3.背包总结

背包问题实际上代表的是线性规划问题，一般要考虑以下几个因素已决定选取什么样的算法：

（1）约束条件，有一个还是两个或者更多个，如果是一个，可能是01背包，完全背包或者多重背包问题，如果有两个约束条件，则可能是二维背包问题。

（2）优化目标，求最大值，还是最小值，还是总数(只需将max换成sum)

（3）每种物品的个数限制，如果每种物品只有一个，只是简单的01背包问题，如果个数无限制，则是完全背包问题，如果每种物品的个数有限制，则是多重背包问题。

（4）背包是否要求刚好塞满，注意不塞满和塞满两种情况下初始值不同。

4.参考资料

dd_engi：《背包问题九讲》