求连续差=k的数组中的子序列总数

Question

在给定的数组中，我试图找到子序列的总数，以便：

• 连续各学期差额不大于3
• 子序列的第一个元素是数组的第一个元素
• 子序列的最后一个元素是数组的最后一个元素

例如，在数组：[10,13,7,8,14,200, 876, 11]中，它有5个遵循上述条件的子序列。

我正在尝试一种自下而上的方法。我尝试了以下方法，但它没有给出所有子序列和输出4，而不是5。

我该怎么做？我的直觉是，这种方法可能类似于最长的递增子序列，但不确定如何实现。

Answer 1

我刚刚注意到@Abhinav的答案是将解决方案优化为O（K*N），而不是O（N^2），这对小的K很有效
但如果需要最佳解决方案，我建议使用O（N*log2（N））解决方案，在log2（N）中使用段树或二叉索引树（Fenwick树）查找[x-k，x k]范围内的和，其中范围和查询（RSQ）是这两种数据结构提供的标准操作

如果初始数组中的值很大（比如long或double），则可以借助映射来进行数据压缩
在这种方法中，你不需要担心K，即使它太大。

Answer 2

@VFX已经提出了一个O（N^2）解决方案，但在大多数情况下，优化算法将是首选。这里有一个O（K*N）解决方案
假设子序列中的第一个元素是x。下一个元素必须在[x-k，x k]范围内。如果知道该范围内所有值的有效序列数，也可以在O（K）中找到当前元素的答案
更正式地说，算法是：

arr = []              // your list
counter = {}          // a dictionary or hashmap to keep count of sequences
counter[arr[-1]] = 1
for i in range (len(arr)-2 to 0):
    curr_element = a[i]
    sequences = 0
    for x in range (curr_element-k to curr_element+k):
        sequences += counter[x]
    counter[curr_element] += sequences

final_answer = counter[arr[0]]

Answer 3

设f（i）为满足以下条件的子序列数：

• 由A[0]开始
• 以A[i]结尾
• 连续项之间的差额不大于3
  

那么你的问题的答案将是f（A.length（）-1）。

下面是C语言中自下而上的代码：

int A[] = {10,13,7,8,14,11};
int f[6];
int n = 6;
    
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = 0;
f[0]=1;
for (int i=1;i<n;i++){
  for (int j=0;j<i;j++){
     if (abss(A[i] - A[j]) <= 3)
         f[i] += f[j];
  }
}
cout<<f[n-1]<<endl;//printing the result

以下是用C语言自上而下编写的代码：

int A[] = {10,13,7,8,14,11};
int n = 6;

int memo[6];//initialized with -1s;

int count(int currIndex){
  if (currIndex == n-1) return 1;
  if (memo[currIndex] != -1) return memo[currIndex];
  
  int res = 0;
  for (int i=currIndex+1 ; i<n ; i++){
      if (abss(A[currIndex] - A[i]) <= 3){
            res += count(i);
      }
  }
    
  memo[currIndex] = res;
  return res;
}

结果是在第一个索引处调用count，如下所示：

count(0);