二维矩阵中的最长递增子序列。

Question

我正在解决一个程序设计的挑战，在一个2D NxN矩阵中寻找最长的递增子序列的长度。在序列的每个元素中，行和列都必须增加（不需要连续）。本文用动态规划方法求解，但它是O(n^4)，效率低。然而，在O(n^3)中有许多解。一种这样的解决办法是：

   scanf("%d", &N);
    for(i = 1; i <= N; i++) {
        for(j = 1; j <= N; j++) {
            scanf("%d", &L[i][j]);
        }
    }
    Answer = 0; 

    memset(maxLength,0,sizeof(maxLength));
    for (i=1;i<=N;i++) 
    {
        maxLength[1][i] = 1;
        maxLength[i][1] = 1;
    }

    //
    for (i=2;i<=N;i++)
    {

        memset(minValue,0,sizeof(minValue));
        curLen = 1;
        minValue[1] = L[i-1][1]; 

        for (j=2;j<=N;j++)  
        {
            for (p=1;p<i;p++)
            {
                tmpLen = maxLength[p][j-1];
                if (minValue[tmpLen] == 0)
                {
                    minValue[tmpLen] = L[p][j-1]; 
                    curLen = tmpLen;
                }
                else if (minValue[tmpLen]>L[p][j-1])
                {
                    minValue[tmpLen] = L[p][j-1];
                }
            }


            max = 1;
            for (p=curLen;p>0;p--)
            {
                if (L[i][j]>=minValue[p])
                {
                    max = p+1;
                    break;
                }
            }

            maxLength[i][j] = max;
            Answer = Answer>max?Answer:max;
        }
    }

    // Print the answer to standard output(screen).
    printf("%d\n", Answer);

有人能解释一下它的工作原理或其他O(n^3)方法吗？我根本听不懂：（。

Answer 1

在O(n³)时间内解决这个问题并不是那么困难。然而，我没有阅读源代码，所以我不知道下面是不是它做了什么，但这里有一个想法，如何可以这样做。

诀窍在于更新过程。我猜你最初做的是下面这些。

假设您正在考虑橙色矩形中的一个元素。前面的步骤必须源自蓝色矩形（您已经解决了）。这会得到一个正确的答案，但很容易看出它会得到一个(n⁴)的结果，因为您可以将橙色和蓝色矩形都设为(n²)，您需要考虑它们之间的所有对。（这很容易形式化。）

这是（我留给你的）诀窍。如果您在单元格中存储了足够的信息（或者在辅助数据结构中，这并不重要），那么对于您考虑的橙色列中的每个元素，您只需要查看它左边的列（对于橙色行也是如此--您只需要查看它上面的行中的元素）。

因此有O(n)个外部迭代（在每个迭代中，您考虑一行和列）。每个这样的行/列有O(n)个元素，每个左/上行/列有O(n)个元素2。乘法使目标变得复杂。