如何在不使用java.math.BigInteger的情况下使用Java处理非常大的数字

Question

我怎么会去这样做算术，+ - / *％，与任意大的整数，而无需使用！java.math.BigInteger？

例如，在Java中，阶乘90会返回0。我希望能够解决这个问题。

Answer 1

我认为程序员应该已经实现了自己的bignum库，因此欢迎在这里。

（当然，稍后你会发现BigInteger更好，并且可以使用它，但这是宝贵的学习经验。）

（你可以在github上关注本课程的源代码。此外，我将此内容（略有修饰）重新制作成了一个由14部分组成的博客系列。）

用Java创建一个简单的Big number类

那么，我们需要什么呢？

首先，用数字表示

基于Java给我们的数据类型。

你认为十进制转换是最复杂的部分，让我们停留在基于十进制的模式下。为了提高效率，我们将不存储真实的十进制数字，而是使用base 1 000 000 000 = 10^9 < 2^30。这适合于Java int（最大为2^31或2^32），而两个这样的数字的乘积恰好适合于Java long。

final static int BASE = 1000000000;
final static int BASE_DECIMAL_DIGITS = 9;

然后是数字数组：

private int[] digits;

我们是否将数字存储在小端或大端中，即较大的部分在前还是后？这并不重要，因此我们决定选择大端字节，因为这是人类想要阅读的方式。（目前，我们专注于非负值-稍后我们将为负数添加一个符号位。）

为了进行测试，我们添加了一个构造函数，该构造函数允许从此类int []进行初始化。

/**
 * creates a DecimalBigInt based on an array of digits.
 * @param digits a list of digits, each between 0 (inclusive)
 *    and {@link BASE} (exclusive).
 * @throws IllegalArgumentException if any digit is out of range.
 */
public DecimalBigInt(int... digits) {
    for(int digit : digits) {
        if(digit < 0 ||  BASE <= digit) {
            throw new IllegalArgumentException("digit " + digit +
                                               " out of range!");
        }
    }
    this.digits = digits.clone();
}

此外，此构造函数还可用于单个int（如果小于BASE），甚至不可用int（我们将其解释为0）。因此，我们现在可以执行以下操作：

DecimalBigInt d = new DecimalBigInt(7, 5, 2, 12345);
System.out.println(d);

这给了我们de.fencing_game.paul.examples.DecimalBigInt@6af62373，而不是那么有用。因此，我们添加了一个toString()方法：

/**
 * A simple string view for debugging purposes.
 * (Will be replaced later with a real decimal conversion.)
 */
public String toString() {
    return "Big" + Arrays.toString(digits);
}

现在的输出是Big[7, 5, 2, 12345]，对于测试更有用，不是吗？

第二，从十进制格式转换。
我们在这里很幸运：我们的基数（10 ^ 9）是我们要从（10）转换的基数的幂。因此，我们总是有相同的（9）个十进制数字代表一个“我们的格式”数字。（当然，开始时可能少一些数字。）在下面的代码中，decimal是一个十进制数字的字符串。

 int decLen = decimal.length();
 int bigLen = (decLen-1) / BASE_DECIMAL_DIGITS + 1;

这个奇怪的公式是Java int的编写方式 bigLen = ceil(decLen/BASE_DECIMAL_DIGITS)。（我希望它是正确的，我们稍后将对其进行测试。）

 int firstSome = decLen - (bigLen-1) * BASE_DECIMAL_DIGITS;

这是第一位十进制数字的长度，应在1到9（含）之间。

我们创建数组：

 int[] digits = new int[bigLen];

循环浏览要创建的数字：

 for(int i = 0; i < bigLen ; i++) {

我们的每个数字都由原始数字中的一个数字块表示：

    String block =
        decimal.substring(Math.max(firstSome + (i-1)*BASE_DECIMAL_DIGITS, 0),
                          firstSome +   i  *BASE_DECIMAL_DIGITS);

（Math.max这里是第一个较短的块在这里需要的。）现在，我们使用常规的Integer解析函数，并将结果放入数组中：

    digits[i] = Integer.parseInt(block);
}

从现在创建的数组中，我们创建DecimalBigInt对象：

return new DecimalBigInt(digits);

让我们看看这是否有效：

DecimalBigInt d2 = DecimalBigInt.valueOf("12345678901234567890");
System.out.println(d2);

输出：

Big[12, 345678901, 234567890]

看起来不错：-)我们也应该用其他一些数字（不同长度）对其进行测试。

下一部分将是十进制格式，这应该更加容易。

第三，转换为十进制格式。
我们需要将每个数字输出为9个十进制数字。为此，我们可以使用Formatter支持类printf格式字符串的类。

一个简单的变化就是：

public String toDecimalString() {
    Formatter f = new Formatter();
    for(int digit : digits) {
        f.format("%09d", digit);
    }
    return f.toString();
}

对于我们的两个数字，这将返回000000007000000005000000002000012345和000000012345678901234567890。这适用于往返（即，将其馈送到valueOf方法中会得到一个等效的对象），但前导零看起来并不太好看（并且可能与八进制数产生混淆）。因此，我们需要打破我们美丽的for-each循环，并使用不同的格式字符串作为前两位。

public String toDecimalString() {
    Formatter f = new Formatter();
    f.format("%d", digits[0]);
    for(int i = 1 ; i < digits.length; i++) {
        f.format("%09d", digits[i]);
    }
    return f.toString();
}

Addition.

让我们从加法开始，因为它很简单（以后我们可以将其中的一部分用于乘法）。

/**
 * calculates the sum of this and that.
 */
public DecimalBigInt plus(DecimalBigInt that) {
    ...
}

我希望你能喜欢阅读，你会读的公式，从而方法名plus，minus，times来代替add，subtract，multiply。

那么，加法是如何工作的呢？它的工作原理与我们在学校学习到的十进制数字大于9时相同：加上相应的数字，如果其中某些数字大于10（或BASE在我们的情况下），则将一位带到下一位。这可能导致所得数字比原始数字多一位。

首先，我们来看一个简单的例子，即两个数字具有相同的数字位数。然后看起来就像这样：

int[] result = new int[this.digits.length];
int carry = 0;
for(int i = this.digits.length-1; i > 0; i--) {
    int digSum = carry + this.digits[i] + that.digits[i];
    result[i] = digSum % BASE;
    carry = digSum / BASE;
}
if(carry > 0) {
    int[] temp = new int[result.length + 1];
    System.arraycopy(result, 0, temp, 1, result.length);
    temp[0] = carry;
    result = temp;
}
return new DecimalBigInt(result);

（我们从右到左移动，因此我们可以将所有溢出都带到下一位数字。如果我们决定使用Little Endian格式，这会有些漂亮。）

如果两个数字的位数不同，则会变得更加复杂。

为了使其尽可能简单，我们将其分为几种方法：

此方法将一位数字添加到数组中的元素（可能已经包含一些非零值），并将结果存储回数组中。如果有溢出，则通过递归调用将其带到下一个数字（索引少一个，而不是一个多）。这样，我们确保数字始终保持在有效范围内。

/**
 * adds one digit from the addend to the corresponding digit
 * of the result.
 * If there is carry, it is recursively added to the next digit
 * of the result.
 */
private void addDigit(int[] result, int resultIndex,
                      int addendDigit)
{
    int sum = result[resultIndex] + addendDigit;
    result[resultIndex] = sum % BASE;
    int carry = sum / BASE;
    if(carry > 0) {
        addDigit(result, resultIndex - 1, carry);
    }
}

下一个对要添加的整个数字数组执行相同的操作：

/**
 * adds all the digits from the addend array to the result array.
 */
private void addDigits(int[] result, int resultIndex,
                       int... addend)
{
    addendIndex = addend.length - 1;
    while(addendIndex >= 0) {
        addDigit(result, resultIndex,
                 addend[addendIndex]);
        addendIndex--;
        resultIndex--;
    }
}

现在我们可以实现我们的plus方法：

/**
 * calculates the sum of this and that.
 */
public DecimalBigInt plus(DecimalBigInt that) {
    int[] result = new int[Math.max(this.digits.length,
                                    that.digits.length)+ 1];

    addDigits(result, result.length-1, this.digits);
    addDigits(result, result.length-1, that.digits);

    // cut of leading zero, if any
    if(result[0] == 0) {
        result = Arrays.copyOfRange(result, 1, result.length);
    }
    return new DecimalBigInt(result);
}

如果可以在可能发生溢出之前先查看，然后再创建一个比所需数组大的数组，我们可以在这里做得更好。

啊，一个测试：d2.plus(d2)给出Big[24, 691357802, 469135780]，看起来不错。

乘法。

让我们记得回到学校时，我们如何在纸上乘以更大的数字？

123 * 123
----------
      369   <== 123 * 3
     246    <== 123 * 2
    123     <== 123 * 1
  --------
    15129

因此，我们必须将第一个数字的每个数字[i]与第二个数字的每个数字[j]相乘，并将乘积加到结果的数字[i + j]中（并注意携带）。当然，这里的索引是从右开始而不是从左开始计数。 （现在，我真的希望我能使用低端数字。）

由于我们两个数字的乘积可能超出的范围int，因此我们使用long乘法。

/**
 * multiplies two digits and adds the product to the result array
 * at the right digit-position.
 */
private void multiplyDigit(int[] result, int resultIndex,
                           int firstFactor, int secondFactor) {
    long prod = (long)firstFactor * (long)secondFactor;
    int prodDigit = (int)(prod % BASE);
    int carry = (int)(prod / BASE);
    addDigits(result, resultIndex, carry, prodDigit);
}

现在我们可以看到为什么我声明我的addDigits方法采用resultIndex参数了。（我只是将最后一个参数更改为varargs参数，以便能够在此处更好地编写。）

因此，这里是交叉乘法的方法：

private void multiplyDigits(int[] result, int resultIndex,
                            int[] leftFactor, int[] rightFactor) {
    for(int i = 0; i < leftFactor.length; i++) {
        for(int j = 0; j < rightFactor.length; j++) {

            multiplyDigit(result, resultIndex - (i + j),
                          leftFactor[leftFactor.length-i-1],
                          rightFactor[rightFactor.length-j-1]);
        }
    }
}

我希望我的索引计算正确。如果使用小尾数表示法，那就multiplyDigit(result, resultIndex + i + j, leftFactor[i], rightFactor[j])更清楚了，不是吗？

times现在，我们的方法只需分配结果数组，调用multiplyDigits并包装结果。

/**
 * returns the product {@code this × that}.
 */
public DecimalBigInt times(DecimalBigInt that) {
    int[] result = new int[this.digits.length + that.digits.length];
    multiplyDigits(result, result.length-1, 
                   this.digits, that.digits);

    // cut off leading zero, if any
    if(result[0] == 0) {
        result = Arrays.copyOfRange(result, 1, result.length);
    }
    return new DecimalBigInt(result);
}

对于测试，d2.times(d2)给出Big[152, 415787532, 388367501, 905199875, 19052100]，这与我的Emacs calc在此处计算的结果相同。

比较方式

我们希望能够比较我们的两个对象。因此，我们实现了Comparable 它的compareTo方法。

public int compareTo(DecimalBigInt that) {

如何知道我们的一个数字是否大于另一个？首先，我们比较数组的长度。由于我们注意不要引入任何前导零（是吗？），因此较长的数组应具有较大的数字。

    if(this.digits.length < that.digits.length) {
        return -1;
    }
    if (that.digits.length < this.digits.length) {
        return 1;
    }

如果长度相同，我们可以按元素进行比较。由于我们使用big endian（即big end首先出现），因此我们从头开始。

    for(int i = 0; i < this.digits.length; i++) {
        if(this.digits[i] < that.digits[i]) {
            return -1;
        }
        if(that.digits[i] < this.digits[i]) {
            return 1;
        }
    }

如果一切都相同，那么显然我们的数字是相同的，我们可以返回0。

    return 0;
}
equals + hashCode()

每一个良好的不可变类应该实现equals()和hashCode()在合适（兼容）的方式。

对于我们的hashCode()，我们只需对数字进行求和，然后将它们乘以一个小质数，以确保数字切换不会产生相同的哈希码：

/**
 * calculates a hashCode for this object.
 */
public int hashCode() {
    int hash = 0;
    for(int digit : digits) {
        hash = hash * 13 + digit;
    }
    return hash;
}

在equals()方法中，我们可以简单地委托给compareTo方法，而不必再次实现相同的算法：

/**
 * compares this object with another object for equality.
 * A DecimalBigInt is equal to another object only if this other
 * object is also a DecimalBigInt and both represent the same
 * natural number.
 */
public boolean equals(Object o) {
    return o instanceof DecimalBigInt &&
        this.compareTo((DecimalBigInt)o) == 0;
}

所以，今天足够了。减法（可能是负数）和除法更加复杂，因此我暂时将其省略。要计算90的阶乘，就足够了。

计算大阶乘：
这里的阶乘函数：

/**
 * calculates the factorial of an int number.
 * This uses a simple iterative loop.
 */
public static DecimalBigInt factorial(int n) {
    DecimalBigInt fac = new DecimalBigInt(1);
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        fac = fac.times(new DecimalBigInt(i));
    }
    return fac;
}

这给了我们

fac(90) = 1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000

从任意基数表示形式转换
在下一个frodosamoa问题的提示下，我写了关于如何从任意（位置）数字系统转换为我们可以（或想要）进行计算的系统的答案。（在该示例中，我从三进制转换为十进制，而问题是从十进制转换为二进制。）

在这里，我们想从任意数字系统（好的，基数在2到36之间，所以我们可以用来将一位数字Character.digit()转换为整数）转换为带有基数BASE（= 1.000.000.000，但这在这里并不重要） 。

基本上，我们使用Horner方案来计算多项式的值，该数字在基数给定的点处作为系数。

sum[i=0..n] digit[i] * radix^i

可以使用以下循环计算：

value = 0;
for  i = n .. 0
  value = value * radix + digit[i]
return value

由于我们的输入字符串是big-endian，因此我们不必倒数，而是可以使用简单的增强型for循环。（在Java中看起来更难看，因为我们没有运算符重载，也没有从int到DecimalBigInt类型的自动装箱。）

public static DecimalBigInt valueOf(String text, int radix) {
    DecimalBigInt bigRadix = new DecimalBigInt(radix);
    DecimalBigInt value = new DecimalBigInt(); // 0
    for(char digit : text.toCharArray()) {
       DecimalBigInt bigDigit =
           new DecimalBigInt(Character.digit(digit, radix));
       value = value.times(bigRadix).plus(bigDigit);
    }
    return value;
}

在我的实际实现中，我添加了一些错误检查（和引发异常），以确保我们确实有一个有效的数字，当然还有文档注释。

转换为任意位置系统更为复杂，因为它涉及余数和除法（按任意基数），而我们尚未实现，因此目前还没有实现。当我对分割方法有个好主意时，它将完成。（在这里我们只需要用小数（一位数字）进行除法，这可能比一般的除法更容易。）

小数除法

在学校里，我学会了长除法。这是一个小（一位数字）除数的示例，我们在德国使用的表示法（带有关于背景计算的注释，通常不写），以十进制表示：

 12345 : 6 = 02057     1 / 6 =  0
-0┊┊┊┊                 0 * 6 =  0
──┊┊┊┊
 12┊┊┊                12 / 6 =  2
-12┊┊┊                 2 * 6 = 12
 ──┊┊┊
  03┊┊                 3 / 6 =  0
 - 0┊┊                 0 * 6 =  0
  ──┊┊
   34┊                34 / 6 =  5
  -30┊                 5 * 6 = 30
   ──┊
    45                45 / 6 =  7
   -42                 7 * 6 = 42
    ──
     3     ==> quotient 2057, remainder 3.

当然，如果我们有本征余数运算，则不需要计算这些乘积（0、12、0、30、42）并减去它们。然后看起来像这样（当然，这里我们不需要编写操作）：

 12345 : 6 = 02057     1 / 6 =  0,   1 % 6 = 1
 12┊┊┊                12 / 6 =  2,  12 % 6 = 0
  03┊┊                 3 / 6 =  0,   3 % 6 = 3
   34┊                34 / 6 =  5,  34 % 6 = 4
    45                45 / 6 =  7,  45 % 6 = 3
     3
           ==> quotient 2057, remainder 3.

如果我们用另一种格式编写的话，这看起来已经很像短除法了。

我们可以观察（并证明）以下内容：

如果我们有一个两位数的数字x，其第一位数字小于我们的除数d，x / d则它是一位数，并且x % d也是一位数字，小于d。这与归纳一起表明，我们只需要用除数除以两位数（余数）即可。

回到以BASE为基数的大数字：所有两位数字都可以用Java表示long，那里有native /和%。

/**
 * does one step in the short division algorithm, i.e. divides
 *  a two-digit number by a one-digit one.
 *
 * @param result the array to put the quotient digit in.
 * @param resultIndex the index in the result array where
 *             the quotient digit should be put.
 * @param divident the last digit of the divident.
 * @param lastRemainder the first digit of the divident (being the
 *           remainder of the operation one digit to the left).
 *           This must be < divisor.
 * @param divisor the divisor.
 * @returns the remainder of the division operation.
 */
private int divideDigit(int[] result, int resultIndex,
                        int divident, int lastRemainder,
                        int divisor) {
    assert divisor < BASE;
    assert lastRemainder < divisor;

    long ent = divident + (long)BASE * lastRemainder;

    long quot = ent / divisor;
    long rem = ent % divisor;

    assert quot < BASE;
    assert rem < divisor;

    result[resultIndex] = (int)quot;
    return (int)rem;
}

现在，我们将循环调用此方法，始终将前一次调用的结果反馈为lastRemainder。

/**
 * The short division algorithm, like described in
 * <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Short_division">Wikipedia's
 *   article <em>Short division</em></a>.
 * @param result an array where we should put the quotient digits in.
 * @param resultIndex the index in the array where the highest order digit
 *     should be put, the next digits will follow.
 * @param divident the array with the divident's digits. (These will only
 *          be read, not written to.)
 * @param dividentIndex the index in the divident array where we should
 *         start dividing. We will continue until the end of the array.
 * @param divisor the divisor. This must be a number smaller than
 *        {@link #BASE}.
 * @return the remainder, which will be a number smaller than
 *     {@code divisor}.
 */
private int divideDigits(int[] result, int resultIndex,
                         int[] divident, int dividentIndex,
                         int divisor) {
    int remainder = 0;
    for(; dividentIndex < divident.length; dividentIndex++, resultIndex++) {
        remainder = divideDigit(result, resultIndex,
                                divident[dividentIndex],
                                remainder, divisor);
    }
    return remainder;
}

此方法仍返回一个int，其余为。

现在我们要有一个返回DecimalBigInt的公共方法，所以我们创建一个。它的任务是检查参数，为工作方法创建一个数组，丢弃其余部分并从结果中创建DecimalBigInt。（构造函数删除可能存在的前导零。）

/**
 * Divides this number by a small number.
 * @param divisor an integer with {@code 0 < divisor < BASE}.
 * @return the integer part of the quotient, ignoring the remainder.
 * @throws IllegalArgumentException if the divisor is <= 0 or >= BASE.
 */
public DecimalBigInt divideBy(int divisor)
{
    if(divisor <= 0 || BASE <= divisor) {
        throw new IllegalArgumentException("divisor " + divisor +
                                           " out of range!");
    }

    int[] result = new int[digits.length];
    divideDigits(result, 0,
                 digits, 0,
                 divisor);
    return new DecimalBigInt(result);
}

我们还有一个类似的方法，它返回余数：

/**
 * Divides this number by a small number, returning the remainder.
 * @param divisor an integer with {@code 0 < divisor < BASE}.
 * @return the remainder from the division {@code this / divisor}.
 * @throws IllegalArgumentException if the divisor is <= 0 or >= BASE.
 */
public int modulo(int divisor) {
    if(divisor <= 0 || BASE <= divisor) {
        throw new IllegalArgumentException("divisor " + divisor +
                                           " out of range!");
    }
    int[] result = new int[digits.length];
    return divideDigits(result, 0,
                        digits, 0,
                        divisor);
}

这些方法可以这样调用：

    DecimalBigInt d3_by_100 = d3.divideBy(100);
    System.out.println("d3/100 = " + d3_by_100);
    System.out.println("d3%100 = " + d3.modulo(100));

转换为任意基数

现在我们有了转换为任意基数的基础。当然，不是真正任意的，只有基数小于BASE允许的基数，但这应该不是一个太大的问题。

正如在有关转换数字的另一个答案中已经回答的那样，我们必须执行“除法，余数，乘法，加法”。“乘加”部分实际上只是将各个数字放在一起，因此我们可以用一个简单的数组代替它-访问。

由于我们总是需要商和余数，因此我们将不使用public方法modulo和divideBy，而是反复调用该divideDigits方法。

/**
 * converts this number to an arbitrary radix.
 * @param radix the target radix, {@code 1 < radix < BASE}.
 * @return the digits of this number in the base-radix system,
 *     in big-endian order.
 */
public int[] convertTo(int radix)
{
    if(radix <= 1 || BASE <= radix) {
        throw new IllegalArgumentException("radix " + radix +
                                           " out of range!");
    }

首先，特殊情况下处理0。

    // zero has no digits.
    if(digits.length == 0)
        return new int[0];

然后，我们为结果数字（足够长）和一些其他变量创建一个数组。

    // raw estimation how many output digits we will need.
    // This is just enough in cases like BASE-1, and up to
    // 30 digits (for base 2) too much for something like (1,0,0).
    int len = (int) (Math.log(BASE) / Math.log(radix) * digits.length)+1;
    int[] rDigits = new int[len];
    int rIndex = len-1;
    int[] current = digits;
    int quotLen = digits.length;

quotLen是最后一个商的位数（不包括前导零）。如果为0，则完成。

    while(quotLen > 0)  {

下一个商的新数组。

        int[] quot = new int[quotLen];

商与余数运算。现在是商quot，其余为rem。

        int rem = divideDigits(quot, 0,
                               current, current.length - quotLen,
                               radix);

我们将其余部分放在输出数组中（从最后一位开始填充）。

        rDigits[rIndex] = rem;
        rIndex --;

然后我们将数组交换到下一轮。

        current = quot;

如果商中有前导零（由于基数小于BASE，因为基数要小于1，所以最多为1），我们会将商大小缩小1。下一个数组将更小。

        if(current[0] == 0) {
            // omit leading zeros in next round.
            quotLen--;
        }
    }

循环之后，rDigits数组中可能有前导零，我们将其切除。

    // cut of leading zeros in rDigits:
    while(rIndex < 0 || rDigits[rIndex] == 0) {
        rIndex++;
    }
    return Arrays.copyOfRange(rDigits, rIndex, rDigits.length);
}

而已。但是，它看起来有点复杂。这是一个如何使用它的示例：

    System.out.println("d4 in base 11: " +
                       Arrays.toString(d4.convertTo(11)));
    System.out.println("d5 in base 7: " +
                       Arrays.toString(d5.convertTo(7)));

它们打印[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0]和[1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0]，与我们之前解析的数字相同（不过是从字符串中提取的）。

基于此，我们还可以将其格式化为字符串：

/**
 * Converts the number to a String in a given radix.
 * This uses {@link Character.digit} to convert each digit
 * to one character.
 * @param radix the radix to use, between {@link Character.MIN_RADIX}
 *   and {@link Character.MAX_RADIX}.
 * @return a String containing the digits of this number in the
 *   specified radix, using '0' .. '9' and 'a' .. 'z' (as much as needed).
 */
public String toString(int radix) {
    if(radix < Character.MIN_RADIX || Character.MAX_RADIX < radix) {
        throw new IllegalArgumentException("radix out of range: " + radix);
    }
    if(digits.length == 0)
        return "0";
    int[] rdigits = convertTo(radix);
    StringBuilder b = new StringBuilder(rdigits.length);
    for(int dig : rdigits) {
        b.append(Character.forDigit(dig, radix));
    }
    return b.toString();
}