2093：【22CSPS提高组】数据传输(transmit)

2093：【22CSPS提高组】数据传输(transmit)

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【题目描述】

小 C 正在设计计算机网络中的路由系统。

测试用的网络总共有 nn 台主机，依次编号为 11 ∼ nn。这 nn 台主机之间由 n−1n−1 根网线连接，第 ii 条网线连接个主机 aiai 和 bibi。保证任意两台主机可以通过有限根网线直接或者间接地相连。受制于信息发送的功率，主机 aa 能够直接将信息传输给主机 bb 当且仅当两个主机在可以通过不超过 kk 根网线直接或者间接的相连。

在计算机网络中，数据的传输往往需要通过若干次转发。假定小 C 需要将数据从主机 aa 传输到主机 b(a≠b)b(a≠b)，则其会选择出若干台用于传输的主机 c1c1 = aa, c2c2, · · · , cm−1cm−1, cmcm = bb，并按照如下规则转发：对于所有的 1≤i<m1≤i<m, 主机 cici 将信息直接发送给 ci+1ci+1。

每台主机处理信息都需要一定的时间，第 ii 台主机处理信息需要 vivi 单位的时间。数据在网络中的传输非常迅速，因此传输的时间可以忽略不计。据此，上述传输过程花费的时间为 ∑mi=1vci∑i=1mvci。

现在总共有 qq 次数据发送请求，第 ii 次请求会从主机 sisi 发送数据到主机 titi。小 C想要知道，对于每一次请求至少需要花费多少单位时间才能完成传输。

【输入】

输入的第一行包含三个正整数 nn, QQ, kk，分别表示网络主机个数，请求个数，传输参数。数据保证 1≤n≤2×1051≤n≤2×105, 1≤Q≤2×1051≤Q≤2×105, 1≤k≤31≤k≤3。

输入的第二行包含 nn 个正整数，第 ii 个正整数表示 vivi，保证 1≤vi≤1091≤vi≤109。

接下来 n−1n−1 行，第 ii 行包含两个正整数 aiai, bibi，表示一条连接主机 aiai, bibi 的网线。保证 1≤ai,bi≤n1≤ai,bi≤n。

接下来 QQ 行，第 ii 行包含两个正整数 sisi, titi，表示一次从主机 sisi 发送数据到主机 titi的请求。保证 1≤si1≤si, ti≤nti≤n, si≠tisi≠ti。

【输出】

QQ 行，每行一个正整数，表示第 ii 次请求在传输的时候至少需要花费多少单位的时间。

【输入样例】

7 3 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 7
5 6
1 2

【输出样例】

12
12
3

【提示】

【样例 1 解释】

对于第一组请求，由于主机 44, 77 之间需要至少 44 根网线才能连接，因此数据无法在两台主机之间直接传输，其至少需要一次转发；我们让其在主机 11 进行一次转发，不难发现主机 11 和主机 44, 77 之间都只需要两根网线即可连接，且主机 11 的数据处理时间仅为 11，为所有主机中最小，因此最少传输的时间为 4+1+7=124+1+7=12。

对于第三组请求，由于主机 11, 22 之间只需要 11 根网线就能连接，因此数据直接传输就是最优解，最少传输的时间为 1+2=31+2=3。

【数据范围】

对于所有的测试数据，满足 1≤n≤2×1051≤n≤2×105, 1≤Q≤2×1051≤Q≤2×105, 1≤k≤31≤k≤3, 1≤ai,bi≤n1≤ai,bi≤n, 1≤si,ti≤n1≤si,ti≤n, si≠tisi≠ti。

测试点	n	Q	k	特殊性质
1	≤ 10	≤ 10	=2	是
2			=3
3	≤ 200	≤ 200	=2
4,5			=3
6,7	≤ 2000	≤ 2000	=1	否
8,9			=2
10,11			=3
12,13	≤ 2 × 105	≤ 2 × 105	=1
14	≤ 5 × 104	≤ 5 × 104	=2	是
15,16	≤105	≤ 105
17,18,19	≤2 × 105	≤ 2 × 105		否
20	≤5 × 104	≤ 5 × 104	=3	是
21,22	≤105	≤ 105
23,24,25	≤2 × 105	≤ 2 × 105		否

特殊性质：保证 ai=i+1ai=i+1，而 bibi 则从 11, 22, . . . , ii 中等概率选取。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO
{
	bool EOFstate = 0;
	template<typename T>inline void read(T& x)
	{
		x = 0; int f = 1; char c = getchar();
		while(('0' > c || c > '9') && !EOFstate) { if(c == '-')f = -1; c = getchar(), EOFstate = c == EOF; }
		while('0' <= c && c <= '9')x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
		x *= f;
	}
	template<typename T = int>inline T read()
	{
		T x;
		x = 0; int f = 1; char c = getchar();
		while(('0' > c || c > '9') && !EOFstate) { if(c == '-')f = -1; c = getchar(), EOFstate = c == EOF; }
		while('0' <= c && c <= '9')x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
		x *= f;
		return x;
	}
	template<typename T>inline void write(T x, char end = ' ')
	{
		if(x == 0)return putchar('0'), putchar(end), void();
		if(x < 0)putchar('-'), x = -x;
		char c[21], cnt = 0;
		while(x)c[cnt++] = x % 10 + '0', x /= 10;
		while(cnt)putchar(c[--cnt]); putchar(end);
	}
}using namespace IO;

const int N = 2e5 + 5, K = 20, A = 3;
#define ll long long
#define getB(x) (31-__builtin_clz(x))

int n, q, lim;
struct Node
{
	ll a[A][A];
	inline void clear()
	{
		memset(a, 0x3f, sizeof(a));
		a[0][0] = 0;
	}
	inline void ext()//贪心扩展状态
	{
		for(int i = 0; i < lim - 1; ++i)
			for(int j = lim - 1; ~j; --j)
				a[i + 1][j] = min(a[i + 1][j], a[i][j]);
		for(int i = 0; i < lim; ++i)
			for(int j = lim - 1; j > 0; --j)
				a[i][j - 1] = min(a[i][j - 1], a[i][j]);
	}
	inline void init(ll v)
	{
		memset(a, 0x3f, sizeof(a));
		a[0][lim - 1] = v;
		for(int i = 1; i < lim; ++i)
			a[i][i - 1] = 0;
	}
};
Node up[N][K];
int fa[N][K], dep[N];
int val[N];
int head[N], to[N << 1], nxt[N << 1], tot;
inline void _add(int f, int t)
{
	to[++tot] = t, nxt[tot] = head[f], head[f] = tot;
}
inline void add(int a, int b)
{
	_add(a, b), _add(b, a);
}
void dfs(int p, int f)
{
	dep[p] = dep[f] + 1, fa[p][0] = f;
	for(int i = head[p]; i; i = nxt[i])
		if(to[i] != f)
			dfs(to[i], p);
}
inline void extend(int p)
{
	up[p][0].init(val[p]);
	if(lim == 3)
		for(int i = head[p]; i; i = nxt[i])
			up[p][0].a[1][1] = min(up[p][0].a[1][1], val[to[i]]*1ll);
	up[p][0].ext();
}
inline void merge(Node& T, Node f, Node g)//合并两根网线
{
	for(int a = 0; a < lim; ++a)
		for(int b = 0; b < lim; ++b)
		{
			ll v = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
			for(int j = 0; j < lim; ++j)
				v = min(v, f.a[a][j] + g.a[j][b]);
			T.a[a][b] = v;
		}
}
inline void init()
{
	int mx = getB(n);
	for(int k = 1, t; k <= mx; ++k)
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			t = fa[i][k - 1];
			fa[i][k] = fa[t][k - 1];
			merge(up[i][k], up[i][k - 1], up[t][k - 1]);
		}
}
Node vala, valb;
inline int LCA(int a, int b)
{
	vala.clear(), valb.clear();
	if(dep[a] < dep[b])
		swap(a, b), swap(vala, valb);
	for(int i = dep[a] - dep[b], k = i & -i; i; i ^= k, k = i & -i)//没什么用的卡常(莫非是getB常数太大)
		merge(vala, vala, up[a][getB(k)]), a = fa[a][getB(k)];
	if(a == b)
		return a;
	for(int i = getB(dep[a]); ~i; --i)//有点用的卡常
		if(fa[a][i] != fa[b][i])
			merge(vala, vala, up[a][i]), merge(valb, valb, up[b][i]), a = fa[a][i], b = fa[b][i];
	merge(vala, vala, up[a][0]), merge(valb, valb, up[b][0]);
	return fa[a][0];
}
signed main()
{
	read(n), read(q), read(lim);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		read(val[i]);
	for(int i = 2; i <= n; ++i)
		add(read(), read());
	dfs(1, 0);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		extend(i);
	init();
	for(int i = 1, s, t; i <= q; ++i)
	{
		read(s), read(t);
		int lca = LCA(s, t);
		merge(vala, vala, up[lca][0]);//将lca也合入一根网线
		ll v = LLONG_MAX;
		for(int i = 0; i < lim; ++i)
			v = min(v, vala.a[0][i] + valb.a[0][lim - i - 1]);
		write(v, '\n');
	}
	return 0;
}