Armstrong 公理

Armstrong公理的推论 编辑

合并规则：若X→Y，X→Z同时在R上成立，则X→YZ在R上也成立。

分解规则：若X→W在R上成立，且属性集Z包含于W，则X→Z在R上也成立。

伪传递规则：若X→Y在R上成立，且WY→Z，则XW→Z。

函数依赖的公理系统

一、Armstrong公理系统设关系模式R<U,F>，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：

① A1自反律：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴含；

② A2增广律：若X→Y为F所蕴含，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴含；

③ A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。

根据上面三条推理规则，又可推出下面三条推理规则：

④ 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴含；

⑤ 伪传递规则：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴含；

⑥ 分解规则：若X→Y，Z⊆Y，则X→Z为F所蕴含。

引理：X→A1A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立(i=1,2,...,k)。

二、Armstrong公理系统的证明

① A1自反律：若Y X U，则X→Y为F所蕴含

证明1

设Y⊆X⊆U。

对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[X]=s[X]，由于Y X，则有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得证。

② A2增广律：若X→Y为F所蕴含，且Z U，则XZ→YZ为F所蕴含

证明2

设X→Y为F所蕴含，且Z⊆U。

对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[XZ]=s[XZ]，由于X ⊆XZ，Z⊆ XZ，根据自反律，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；

由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增广律得证。

③ A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含

证明3

设X→Y及Y→Z为F所蕴含。

对R<U,F>的任一关系r中的任意两个元组t,s：

若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；

再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含，传递律得证。

④ 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴含

证明4

因X→Y ，所以X→XY （增广律 XX→XY即X→XY）

因X→Z ，所以XY→YZ （增广律）

因X→XY，XY→YZ

故X→YZ （传递律）

⑤ 伪传递规则：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴含

证明5

因X→Y ，所以WX→WY （增广律）

因WY→Z ，所以XW→Z （传递律）

⑥ 分解规则：若X→Y，Z∈Y，则X→Z为F所蕴含

证明6

因Z∈Y 　所以Y→Z （自反律）

因X→Y 所以X→Z （传递律）

闭包及其计算

定义1：设F是关系模型R的一个函数依赖集，X,Y是R的属性子集，如果从F中的函数依赖能够推出X→Y，则称F ^[1] X→Y。

定义2：被F逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包，记作F+。

定义3：设F是属性集U上的一组函数依赖，则属性集X关于F的闭包X+F定义为X+F={A|A∈U且X→A可由F经Armstrong公理导出}，即X+F={A|X→A∈F+}。

定理1：设关系模型R(U)，F为其函数依赖集，X，Y为U的真子集，则从F推出X→Y的充要条件是Y是X+F的真子集。