Young不等式
Young不等式
x
>
0
,
y
>
0
,
p
>
0
,
q
>
0
,
1
p
+
1
q
=
1
x>0,y>0,p>0,q>0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
x>0,y>0,p>0,q>0,p1+q1=1
则
x
y
≤
x
p
p
+
y
q
q
xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}
xy≤pxp+qyq
当且仅当
x
p
=
y
q
x^{p}=y^{q}
xp=yq时取等
证明：
要证明
x
y
≤
x
p
p
+
y
q
q
xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}
xy≤pxp+qyq
等价于证明
ln
x
y
≤
ln
(
x
p
p
+
y
q
q
)
\ln xy \le \ln (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})
lnxy≤ln(pxp+qyq)
f
(
x
)
=
ln
x
,
f
′
′
(
x
)
=
−
1
x
2
<
0
f(x)=\ln x,f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0
f(x)=lnx,f′′(x)=−x21<0
由Jensen不等式
ln
(
x
p
p
+
y
q
q
)
≥
1
p
ln
x
p
+
1
q
ln
x
q
=
ln
x
y
\ln (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})\ge \frac{1}{p} \ln x^p +\frac{1}{q} \ln x^{q}=\ln xy
ln(pxp+qyq)≥p1lnxp+q1lnxq=lnxy
当且仅当
x
p
=
y
q
x^{p}=y^{q}
xp=yq时取等