Teamwork

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知识点

• 动态规划
  • 线性 $dp$
• 区间最值
  • $RMQ$

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题目背景

在 $Farmer$ $John$ 最喜欢的节日里，他想要给他的朋友们赠送一些礼物。
由于他并不擅长包装礼物，他想要获得他的奶牛们的帮助。你可能能够想到，奶牛们也不是很擅长包装礼物，而 $Farmer$ $John$ 即将得到这一教训。

题目描述

$Farmer$ $John$ 的 $N$ 头奶牛 $(1\le N\le 10^4)$ 排成一行，方便起见依次编号为 $1$ ~ $N$。
奶牛 $i$ 的包装礼物的技能水平为 $S_i$。她们的技能水平可能参差不齐，所以 $Farmer$ $John$ 决定把她的奶牛们分成若干个小组：每一组可以包含任意 不超过 $K$ 头的 连续 的奶牛 $(1\le K\le 10^3)$，并且一头奶牛不能属于多于一个小组。由于奶牛们会互相学习，这一组中每一头奶牛的技能水平会变成这组中 水平最高的奶牛 的技能水平。
请帮助 $Farmer$ $John$ 求出：在他这样地安排分组的情况下，可以达到技能水平之和的最大
值。

输入格式

输入的第一行包含 $N$ 和 $K$。
以下 $N$ 行按照 $N$ 头奶牛的排列顺序 ($1$ ~ $N$) 依次给出她们的技能水平，技能水平是一个不超过 $10^5$ 的正整数。

输出格式

输出$Farmer$ $John$通过将连续的奶牛进行分组可以达到的最大技能水平和。

样例

样例输入

7 3
1
15
7
9
2
5
10

样例输出

84

样例解释

在这个样例中，最优的方案是将前三头奶牛和后三头奶牛分别分为一组，中间的奶牛单独成为一组 (任意一组的奶牛数量可以小于 $K$)。
这样能够有效地将 $7$ 头奶牛的技能水平提高至 $15、15、15、9、10、10、10$，和为 $84$。

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思路

这道题的数据，搜索肯定是不能全过的。
我们需要另想其他的方法。
那可不可以用 $dp$ 呢?
如果可以，就得有 最优子结构 和 重叠子问题。

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分析

我们可以设 $dp[i]$ 表示 从 第 $1$ 头奶牛 到 第 $N$头奶牛 的最大技能水平和。
在计算 $dp[i]$ 的时候，可以用 $j$ 枚举 $i-K+1$ 到 $i$ 的奶牛，让 $j$ ~ $i$ 的这些奶牛分成一组，求出它们的技能水平和的最大值，再与前面的 $dp[j-1]$ 相加，就是当 $j$ ~ $i$为一组时的最大技能水平和。
那么怎么求 $j$ ~ $i$奶牛的最大技能水平呢，不过兔兔没有用 $RMQ$。
我们可以从 $i$ ~ $j$ 倒着循环枚举 $S[j]$ ，与前面求出的 $i$ ~ $j+1$ 的最大值和 $S[j]$ 做比较，就可以求出 $i$ ~ $j$ 奶牛的技能水平最大值了。

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代码

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e4, MAXK = 1e3;
int N, K;
int S[MAXN + 5];
int dp[MAXN + 5], MaxS[MAXN + 5];
// dp[i] 前i头奶牛 可以达到的技能水平之和 的 最大值 
// MaxS[j] 在求解 第i头奶牛 时, 它到 第j头奶牛 的最大水平 

int Max(int a, int b) { return a > b ? a : b; } // 最大值函数 Max 

int main()
{
	scanf("%d %d", &N, &K); // 输入 N 和 K 
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%d", &S[i]); // 输入 每个奶牛 的 水平S[i] 
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		dp[i] = dp[i - 1] + S[i]; // 当前这头奶牛一头牛一组的时候, 所达到的技能水平之和 
		MaxS[i] = S[i]; // 第i头奶牛的水平 
		for (int j = i - 1; j >= i - K + 1 && j >= 1; j--) // 只用循环到i-K+1, 因为i-K及其后面的奶牛 是不可能和 第i头奶牛 在一组的 
			MaxS[j] = Max(MaxS[j + 1], S[j]); // 求出 第i头奶牛 到 第j头奶牛 的最大水平 
		for (int j = Max(1, i - K + 1); j <= i; j++)
			dp[i] = Max(dp[i], dp[j - 1] + (i - j + 1) * MaxS[j]); // dp状态转移 
	}
	printf("%d\n", dp[N]); // 输出答案 
	return 0;
}

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