当前位置: 首页 > 工具软件 > ntl > 使用案例 >

NTL密码算法开源库——大整数ZZ类(四)

洪知
2023-12-01

2021SC@SDUSC

RSA算法原理

密钥生成的步骤

第一步,随机选择两个不相等的质数p和q

爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)

第二步,计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

第三步,计算n的欧拉函数φ(n)

根据公式:φ(n) = (p-1)(q-1)

爱丽丝算出φ(3233)等于60×52,即3120。

第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。

爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

 ed - 1 = kφ(n)

于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120

 17x + 3120y = 1

这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。

至此所有计算完成。

第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。

实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。

第七步,RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:

p  q  n  φ(n)  e  d

这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

  (1)ed1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。

  (2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)

  (3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。

可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。

举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949
  58384962720772853569595334
  79219732245215172640050726
  36575187452021997864693899
  56474942774063845925192557
  32630345373154826850791702
  61221429134616704292143116
  02221240479274737794080665
  351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积:

  33478071698956898786044169

  84821269081770479498371376

  85689124313889828837938780

  02287614711652531743087737

  814467999489

    ×

  36746043666799590428244633

  79962795263227915816434308

  76426760322838157396665112

  79233373417143396810270092

  798736308917

事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

第八步,加密和解密

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。

(1)加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。

所谓"加密",就是算出下式的c:

 me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:

6517 ≡ 2790 (mod 3233)

于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

(2)解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:

 cd ≡ m (mod n)

也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出

27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

第九步,私钥解密的证明

最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:

 cd ≡ m (mod n)

因为,根据加密规则

e ≡ c (mod n)

于是,c可以写成下面的形式:

 c = me – kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则:

 (me - kn)d ≡ m (mod n)

它等同于求证

 med ≡ m (mod n)

由于

ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

ed = hφ(n)+1

将ed代入:

mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来,分成两种情况证明上面这个式子。

  1. m与n互质。

根据欧拉定理,此时

mφ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

(2)m与n不是互质关系。

此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:

(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

(kp)ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

(kp)ed = tq + kp

这时t必然能被p整除,即 t=t'p

(kp)ed = t'pq + kp

因为 m=kpn=pq,所以

med ≡ m (mod n)

原式得到证明。

部分代码

RSA.h

/*********************************************************************** 



  RSA 加密与解密                    

  1、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数);

  2、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数;              

  3、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下;

 

***********************************************************************/



#include"RSA.H"

# pragma comment (lib, "NTL-5.3.2\\NTL532.lib")



#define BITS 256      //要求概率素数 p , q 的比特位数达 BITS bits



void main()

{

    ZZ  p, q ;   //两个 BITS 比特的随机概率素数 p , q

    ZZ  n, e, d, euler;   // n=p*q, euler=(p-1)*(q-1), e---加密密钥,  d---解密密钥

    int bits = BITS;      //要求概率素数为 BITS bits

   

    cout<<endl;

    cout<<"**********************************************************"<<endl;

    cout<<"                 NTL 库实现 RSA 加密与解密             "<<endl;

    cout<<"  1、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数); "<<endl;

    cout<<"  2、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数;                   "<<endl;

    cout<<"  3、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下;    "<<endl;

    cout<<"**********************************************************"<<endl;

   

   

    system("cls");

    RandomPrime( p, bits, 10 );    RandomPrime( q, bits, 10 );

    n=p*q;   euler=(p-1)*(q-1);    //计算 n=p*q 及 欧拉函数值 euler(n)=(p-1)*(q-1)

   

    KeyGeneration(d, e, euler);    //生成密钥: d, e , where d*e=1 Mod euler(n)

    SaveKey(e, d, n); //保存公钥及私钥到文件. 注意: PU={e,n}, PR={d,n}

   

   

    //注意: 公钥 KU={e,n}, 用于加密方

    //       私钥 KR={d,n}, 用于解密方

   

    Encryption(e, n); //加密: C=M^e(Mod n)

    Decryption(d, n); //解密: M=C^d(Mod n)

   

   

    cout<<endl;

    cout<<"**********************************************************"<<endl;

    cout<<"                 NTL 库实现 RSA 加密与解密             "<<endl;

    cout<<"  1、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数); "<<endl;

    cout<<"  2、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数;                   "<<endl;

    cout<<"  3、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下;    "<<endl;

    cout<<"**********************************************************"<<endl;

   

   

    cout<<"\n程序执行完毕!"<<endl;

    cout<<"*********** 以下所有文件均保存于当前目录下 ***********"<<endl;

    cout<<"\t 明文文件:   "<< file1 <<endl;

    cout<<"\t 密文文件:   "<< file2 <<endl;

    cout<<"\t 解密文件:   "<< file3 <<endl;

    cout<<"\t RSA 加密密钥文件:   PublicKey.txt"  << endl;

    cout<<"\t RSA 解密密钥文件:   PrivateKey.txt" << endl;

    cout<<endl;

    cout<<"******************************************************"<<endl;

   

    cout<<endl; system("pause");

}

 具体代码见@元解~殇怀

 类似资料: