克隆巴赫系数 Cronbach‘s alpha 及 R, Python 实现

克隆巴赫系数 Cronbach’s alpha 是量表问卷信度（Reliability）的一个指标，一般大于 0.7 表示问卷的信度可以接受，大于 0.8 表示问卷的信度良好，大于 0.9 表示问卷的信度优秀。

1. 信度与效度

信度即测量的一致性，表示若问卷中的问题重复很多次问同一个人，这个人的回答总是一致的。效度是衡量问卷中的问题能否测量出它应该测量的事物的成都，例如网上的一些 IQ 测试问题真的能反映一个人的真实智力吗？这个就属于效度要衡量的东西。

在结构方程、因子分析中一般要检测信度与效度。

2. 平行测量、$\tau$ 等价与同类测量

测量值 $x$ 与真值 $\tau$ 的方程被假设为：
$$x=\alpha \tau +e$$
其中 $e$ 为误差，假设误差的均值为零，并且与真值不相关，即：$E(e)=0$，$cov(\tau ,e)=0$。

对于两个测量值 $x_i$ 和 $x_j$ 假设他们的 $e_i$、$e_j$ 不相关，真值相同 ${\tau }_i={\tau }_i$，

• 若 ${\alpha }_i={\alpha }_j=1$ 并且 $var(e_i)=var(e_j)$，那么 $x_i$ 和 $x_j$ 为平行测量值。
• 若仅仅 ${\alpha }_i={\alpha }_j=1$，那么那么 $x_i$ 和 $x_j$ 为 $\tau$ 等价测量值。
• 若 ${\alpha }_i,{\alpha }_j$，$var(e_i),var(e_j)$ 没有相等关系，则为同类测量。

3. 计算公式

信度的标准定义为真值方差与测量值的方差之比，在 $\tau$等价时也等于真值与测量值相关系数的平方。 定义 $k$ 个测量值的和为 $X=x_1+x_2+...x_k$，克隆巴赫系数 Cronbach’s alpha 定义为 $X$ 与真值 $\tau$ 的相关系数平方，并且可以进一步推出它的计算公式为：

$${\rho }_{\tau }=\frac{k}{k-1}\left[1-\frac{{\sum }_{i=1}^{k}var(x_i)}{var(X)}\right]$$

$var(X)$ 为所有测量值和的方差（就是问卷中所有问题加和的方差），$var(x_i)$ 为每个测量值的方差（就是问卷中单个问题的方差）。

4. R, python 实现

4.1 R实现

在 R 语言中需要安装 ltm 包，该包专门针对结构方程相关的计算。

#install.packages('ltm')
library(ltm)
data = data.frame(Q1=c(1, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3),
                   Q2=c(1, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3),
                   Q3=c(1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 3))

#calculate Cronbach's Alpha
cronbach.alpha(data, CI=TRUE)

显示结果：
Items: 3
Sample units: 10
alpha: 0.773

Bootstrap 95% CI based on 1000 samples
2.5% 97.5%
0.064 0.933

上面还显示了 Cronbach’s 系数的 Bootstrap 置信区间。

4.2 Python 实现

Python 代码：
python 需要安装 pingouin 包，

import pandas as pd
import pingouin as pg

#enter survey responses as a DataFrame
df = pd.DataFrame({'Q1': [1, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3],
                   'Q2': [1, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3],
                   'Q3': [1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 3]})

result = pg.cronbach_alpha(data = df)
print(result)

显示结果：
(0.7734375, array([0.336, 0.939]))

python 得出的系数值与 R 语言一样，但是置信区间有点不一样，因为 python 是用固定的置信区间公式算出的，不是用 bootstrap 方法计算的置信区间。

参考文献¹²³

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1. 潜变量结构方程，肯尼斯.博伦著，赵联飞等译，重庆大学出版社，2022 ↩︎

2. https://www.statology.org/cronbachs-alpha-in-r/ ↩︎

3. https://www.statology.org/cronbachs-alpha-in-python/ ↩︎