BAPC2018 K-Kingpin Escape（Gym - 102007K）

题目大意：给你一棵树，求出最小的连接方法使得切去任意一条边能从任何点回到根。

题解：

结论1：每个度数为一的点至少连一条边

结论2：连接 i 和 i + 叶子节点个数的上取整可以保证不存在只在一颗子树内连边的情况

官方给的题解就是对n个叶子节点，i连n/2+i，i+1连n/2+i+1...，考虑叶子节点个数奇偶情况依此类推，同时特判根节点是否只有一棵子树，若只有一颗子树，将根节点也加入将要连边的叶子节点的集合，按照前述方法连边。当时场上自己也大概这么想的，似乎有点小出入一直wa，不过这个方法的证明官方给的是"Obviously",咱也不知道，也不敢问。。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
typedef long long ll;
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
int n,r;
vector<int>g[maxn];
bool vis[maxn];
int node[maxn];
int tot;
void dfs(int u){
	if(u!=r&&g[u].size()==1){
		node[tot++]=u;
		return ;
	}
	for(int i=0;i<(int)g[u].size();i++){
		int v=g[u][i];
		if(vis[v])continue;
		vis[v]=true;
		dfs(v);
	}
}
vector<pair<int,int> >ans;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&r);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	tot=1;
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	vis[r]=true;
	dfs(r);
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	int t=1;
	if(g[r].size()==1)
		ans.push_back(make_pair(node[1],r));
	else if((tot-1)%2)
		ans.push_back(make_pair(node[tot-1],node[1]));
	else t=0;
	for(int i=1;i<=(tot-1)/2;i++)
		ans.push_back(make_pair(node[i+t],node[(tot-1)/2+i+t]));
	printf("%d\n",(int)ans.size() );
	for(int i=0;i<(int)ans.size();i++)
		printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second );
	return 0;
}

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Orz先收藏一份qko的代码，赛后听说这份代码可得到证明，之后再研究吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define link(x) for(edge*j=h[x];j;j=j->next)
#define ll long long
#define NM 100005
#define nm 200005
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}




struct edge{int t;edge*next;}e[nm],*h[NM],*o=e;
void add(int x,int y){o->t=y;o->next=h[x];h[x]=o++;}
int n,b[NM],cnt,tot,_x,_y,root,size[NM],f[NM],r[NM],son[NM],id[NM];
struct tmp{int x,y;}ans[NM];
vector<int>c[NM];

void dfs2(int x){
    bool _f=false;
    link(x)if(j->t!=f[x])dfs2(j->t),_f++;
    if(!_f)c[tot].push_back(x),id[x]=tot;
}


void dfs(int x){
    bool _f=0;
    son[x]=-1;
    link(x)if(j->t!=f[x]){
	_f++;
	f[j->t]=x;
	dfs(j->t);
	if(size[son[x]]<size[j->t])son[x]=j->t;
	size[x]+=size[j->t];
    }
    if(!_f)size[x]++;
}
void dfs1(int x){
    if(size[son[x]]>1&&tot-size[son[x]]<size[son[x]]){
	link(x)if(j->t!=f[x]&&j->t!=son[x])r[++cnt]=j->t;
	dfs1(son[x]);
	return;
    }
    link(x)if(j->t!=f[x])r[++cnt]=j->t;
}

int main(){
    n=read();root=read();
    inc(i,2,n){_x=read();_y=read();add(_x,_y);add(_y,_x);}
    f[root]=-1;
    dfs(root);tot=size[root];
    dfs1(root);tot=0;
    inc(i,1,cnt){
	tot++;
	dfs2(r[i]);
	b[tot]=c[tot].size();
    }
    tot=0;
    inc(i,1,cnt){
	while(b[i]){
	    while(i<cnt&&!b[cnt])cnt--;
	    if(i>=cnt)break;
	    ans[++tot].x=c[i][--b[i]],ans[tot].y=c[cnt][--b[cnt]];
	}
	if(i>=cnt)break;
    }
    if(b[cnt]){
	inc(i,1,tot)if(id[ans[i].x]!=cnt&&id[ans[i].y]!=cnt){
	    if(b[cnt]<=1)break;
	    ans[++tot].x=c[cnt][--b[cnt]];ans[tot].y=ans[i].y;
	    ans[i].y=c[cnt][--b[cnt]];
	}
    }
    if(b[cnt])ans[++tot].x=root,ans[tot].y=c[cnt][--b[cnt]];
    else if(!h[root]->next)ans[++tot].x=root,ans[tot].y=c[1][0];
    printf("%d\n",tot);
    inc(i,1,tot)printf("%d %d\n",ans[i].x,ans[i].y);
    return 0;
}