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【校内模拟7.30】—quests(dp)

宰父德馨
2023-12-01

传送门

考试的时候没读懂怎么才准确猜出

考虑 f [ i ] f[i] f[i]表示长度为 i i i全部分辨出来的方案数
直接不好求,考虑求出有区间分辨不出来的方案数
显然必定是连续的一段区间无法分辨

容斥的话就相当于有几个小区间
相互能分辨,自己内部无法分辨

考虑 g [ i ] [ j ] g[i][j] g[i][j]表示把 i i i个点分成 j j j段的方案数
可以直接枚举下一段的长度 O ( n 3 ) d p O(n^3)dp O(n3)dp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define re register
#define pb push_back
#define cs const
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
cs int N=5005;
int inv[N],fac[N],ifac[N],c[N],n,k;
inline void init(){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[N-1]=ksm(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	c[0]=1,c[1]=n;
	for(int i=2;i<=k;i++)c[i]=mul(c[i-1],mul(n-i+1,inv[i]));
}
int f[N][N];
inline int gcd(int x,int y){
	return y?gcd(y,x%y):x;
}
int dfs(int p,int k){
	if(k==0)return 1;
	if(p==1)return c[k];
	if(p<N&&f[p][k]!=-1)return f[p][k];
	int res=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int g=gcd(i,p);
		if(i&1)Add(res,mul(n/p,mul(g,dfs(g,k-i))));
		else Dec(res,mul(n/p,mul(g,dfs(g,k-i))));
	}
	Mul(res,inv[k]);
	if(p>=N)return res;
	return f[p][k]=res;
}
int main(){
	n=read(),k=read();
	init(),memset(f,-1,sizeof(f));
	cout<<dfs(n,k);
}

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