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HDU 6051 If the starlight never fade - 找规律

高博涉
2023-12-01

打个表不难发现 fm(i)=m((i,p1)1) f m ( i ) = m ( ( i , p − 1 ) − 1 ) ,然后随便反演一下即可。
证明略。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<assert.h>
#include<unordered_map>
#define mod 1000000007
#define lint long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
inline int fast_pow(int x,int k,int p,int ans=1)
{   for(x%=p;k;k>>=1,x=(lint)x*x%p) (k&1)?ans=(lint)ans*x%p:0;return ans; }
inline int gcd(int a,int b) { return a?gcd(b%a,a):b; }
unordered_map<int,int> PHI;
int lst[100],lt;
inline int getlst(int n)
{
    int x=1;
    while((x+1ll)*(x+1)<=n) x++;
    rep(i,2,x) if(n%i==0)
    {   lst[++lt]=i;while(n%i==0) n/=i; }
    if(n>1) lst[++lt]=n;return 0;
}
inline int Phi(int n)
{
    if(n==1) return 1;if(PHI.count(n)) return PHI[n];
    for(int i=1;i<=lt;i++) if(n%lst[i]==0)
    {
        int x=n/lst[i];
        if(x%lst[i]==0) PHI[n]=Phi(x)*lst[i];
        else PHI[n]=Phi(x)*(lst[i]-1);
    }
    return PHI[n];
    /*int x=1,ans=n;
    while((x+1ll)*(x+1)<=n) x++;
    rep(i,2,x) if(n%i==0)
    {
        ans=ans/i*(i-1);
        while(n%i==0) n/=i;
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;*/
}
int main()
{
    int m,p;scanf("%d%d",&m,&p),getlst(p-1);
/*  rep(i,1,p-1)
    {
        int cnt=0;
        rep(x,1,p-1) rep(y,1,m) if(fast_pow(x+1,i,p)==fast_pow(x,i,p)) cnt++;
        cout<<i<<" "<<cnt<<endl;
        assert(cnt==m*(gcd(p-1,i)-1));
    }*/
    //conclusion : f_m(i)=m(gcd(i,p-1)-1)
    int n=p-1;lint ans=0ll;
    rep(d,1,n/d) if(n%d==0)
    {
        (ans+=(d-1ll)*Phi(n/d)%mod)%=mod;
        if(d!=n/d) (ans+=(n/d-1ll)*Phi(d)%mod)%=mod;
    }
    ans=ans%mod*n%mod;
    ans=(ans+n*(n-1ll)%mod)%mod;
    ans=ans%mod*fast_pow(2,mod-2,mod)%mod;
    ans=ans*m%mod;
    return !printf("%lld\n",ans);
}
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