[CF1517G]Starry Night Camping

题目

传送门 to CF

思路

首先，这东西稍微有一点 $\text{constructive}$，所以我未必能想到；其次，按照我愚蠢的方法，$100\%$ 的想不到。

原本我以为，可以最大权闭合子图乱搞；但是这里的权值需要设置为负数（四个点之中有一个点不保留，就可以获得大量权值；这是一个负数的割），计划泡汤。我又联想到了黑白染色。

我一想：“$x_i,y_i$ 均为偶数，不就是所有的黑点嘛！” 于是开始了轰轰烈烈的尝试，然后以失败告终。

直到看到题解，我才发现：原来 $x_i,y_i$ 均为偶数，并不是 $2\mid (x_i+y_i)$ 啊，长见识了！

回到正题上。首先这是线性规划；于是考虑网络流。虽然最大权闭合子图是错误的，但是我们有别的方法让它正确。记 $f(x,y)$ 为，是否 $(x,y)$ 存在点，且左侧和右侧至少有一个点。那么存在平行四边形，等价于 $f(x,y)$ 且 $f(x,y+1)\vee f(x,y-1)$，其中 $2\mid x,2\mid y$ 。

那么，只需考虑删点对于 $f(x,y)(2\mid x)$ 的影响。可以发现，其左右的两个点都可以为它 “供能”，想要它为 $\text{false}$，要么左右两侧都不选，要么自己不选。这是简单的网络流模型：左右两侧的点都向新点 $t$ 连 $+\infty$ 容量的边（若有一个是 $S$ 部，则 $t$ 是 $S$ 部），然后 $t$ 向当前点连边，容量是 $w_x$，即自己不选时（此边被割掉）无论左右如何自己都可以是 $T$ 部。

由于 $2\mid y$ 和 $2\nmid y$ 互不影响，两边分别如此建图。问题则变为 $f(x,y)$ 和 $f(x,y+1)$ 不能同时为 $\text{true}$ 。现在总算可以黑白染色了：将 $2\mid y$ 的 $S,T$ 状态翻转，问题则变为，某种二者取值不同的情况是被禁止的。连 $+\infty$ 容量的边，表示不可接受的代价，就行了。

重新审视网络流图，你会发现：实际上我们建出了这样的一个图：$(1,1)\to (0,1)\to (0,0)\to (1,0)$，其中 $0,1$ 代表奇偶性，并且每个点拆成了入度和出度。那么这就很 $\text{constructive}$ 了：它实际上揭示了一种将平行四边形拆解成路径的方式，而且这个路径也总是对应平行四边形。

题解多数都是上面的这种 $\text{constructive}$ 讲法，包括官方题解。这谁能想得到嘛 

可是这跟我连奇偶都分不清有什么关系呢。时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$，即 $\mathcal{O}(V^{2}E)$ 的网络流。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <map>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MAXN = 2005, INF = 0x3fffffff;
struct Edge{
	int to, nxt, val;
	Edge(int _t,int _n,int _v)
		:to(_t),nxt(_n),val(_v){}
	Edge() = default;
};
Edge e[MAXN<<2];
int head[MAXN], cntEdge;
void addEdge(int a,int b,int v){
	e[cntEdge] = Edge(b,head[a],v);
	head[a] = cntEdge ++;
	e[cntEdge] = Edge(a,head[b],0);
	head[b] = cntEdge ++;
}

int dis[MAXN];
bool bfs(const int source,const int sink){
	static int q[MAXN]; // queue
	int *fro = q, *bac = q+1;
	memset(dis+1,-1,sink<<2);
	*bac = source, dis[*bac] = 0;
	for(int x; fro!=bac; ){
		++ fro, x = *fro;
		for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt)
			if(e[i].val && !(~dis[e[i].to])){
				dis[e[i].to] = dis[x]+1;
				++ bac, *bac = e[i].to;
			}
	}
	return dis[sink] != -1;
}
int cur[MAXN];
int dfs(int x,int inFlow,const int sink){
	int sum = 0; if(x == sink) return inFlow;
	for(int &i=cur[x]; ~i; i=e[i].nxt)
		if(e[i].val && dis[e[i].to] == dis[x]+1){
			int d = dfs(e[i].to,min(inFlow-sum,e[i].val),sink);
			e[i].val -= d, e[i^1].val += d, sum += d;
			if(sum == inFlow) break; // no more flow
		}
	if(sum != inFlow) dis[x] = -1;
	return sum;
}
llong dinic(const int source,const int sink){
	long long res = 0;
	while(bfs(source,sink)){
		memcpy(cur+1,head+1,sink<<2);
		for(int &i=cur[source]; ~i; i=e[i].nxt)
			if(e[i].val) res += dfs(e[i].to,e[i].val,sink);
	}
	return res;
}

int x[MAXN], y[MAXN];
map<pair<int,int>,int> mp;
int main(){
	int n = readint(); llong ans = 0;
	const int source = (n<<1)|1, sink = source+1;
	memset(head+1,-1,sink<<2);
	rep(i,1,n){
		x[i] = readint(), y[i] = readint();
		mp[make_pair(x[i],y[i])] = i;
		int w = readint(); ans += w;
		addEdge(i+n,i,w); // if cut
	}
	rep(i,1,n)
		if((x[i]^y[i]^1)&1){
			rep(d,-1,1) if(d && mp.count(make_pair(x[i]+d,y[i])))
				addEdge(i,mp[make_pair(x[i]+d,y[i])]+n,INF);
			if(x[i]&y[i]&1) addEdge(source,i+n,INF);
		}
		else if(!(x[i]&1) && (y[i]&1)){
			rep(d,-1,1) if(d && mp.count(make_pair(x[i],y[i]+d)))
				addEdge(i,mp[make_pair(x[i],y[i]+d)]+n,INF);
		}
		else if((x[i]&1) && !(y[i]&1)) addEdge(i,sink,INF);
	printf("%lld\n",ans-dinic(source,sink));
	return 0;
}

后记

如果说思维就是大脑皮层的电信号，那么定义电阻率的比值 $\frac{{\rho }_{\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}}}{{\rho }_{\mathsf{D}\mathsf{D}(\mathsf{X}\mathsf{Y}\mathsf{X})}}=\mathrm{sb}(t)$ 为 $\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 的废物指数（随时间变化的函数）。在 $2005$ 年，青年数学家戴伟鸥和严逸袅先后分别完成了对于 $\mathrm{sb}(t)$ 任意阶导数单增、$\mathrm{sb}(t)\gg {\omega }^{100t}(\omega \gg 10^{10^{10}})$ 的证明。