CodeForces - 1562E Rescue Niwen!(dp)

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，将其子串按顺序展开成序列，即 { s 1 , s 1 s 2 , ⋯   , s 1 s 2 … s n , s 2 , s 2 s 3 , s 2 s 3 … s n , s 3 , s 3 s 4 , ⋯   , s n − 1 s n , s n } \{s_1,s_1s_2,\cdots ,s_1 s_2 \ldots s_n,s_2,s_2 s_3, s_2 s_3\ldots s_n,s_3,s_3 s_4,\cdots,s_{n-1}s_n,s_n\} {s1​,s1​s2​,⋯,s1​s2​…sn​,s2​,s2​s3​,s2​s3​…sn​,s3​,s3​s4​,⋯,sn−1​sn​,sn​}

现在需要找到一个字典序递增的子序列，满足长度最长

题目分析：有个结论，如果子串 $s[l:r]$ 被选择了的话，那么 $s[l:r+1],s[l:r+2],\cdots ,s[l:n]$ 也是会被选择的

不难看出 $s[l:n]$ 是原串的一个后缀，所以不妨设 $dp[i]$ 是以 $s[i:n]$ 这个后缀结尾的最大答案

那么转移的话只需要枚举另一个后缀 $s[j:n]$ 满足 $j<i$ 就可以转移了，因为本题规定了字典序需要严格递增，快速比较两个后缀的字典序大小可以预处理一下 $lcp$ ，而转移时，后缀 $s[i:n]$ 的 $lcp$ 的部分显然不满足字典序严格递增，需要剔除掉

代码：

// Problem: E. Rescue Niwen!
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #741 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1562/problem/E
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e3+100;
int lcp[N][N],dp[N];
char s[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n);
		scanf("%s",s+1);
		for(int i=1;i<=n+1;i++) {
			for(int j=1;j<=n+1;j++) {
				lcp[i][j]=0;
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--) {
			for(int j=n;j>=1;j--) {
				if(s[i]==s[j]) {
					lcp[i][j]=lcp[i+1][j+1]+1;
				} else {
					lcp[i][j]=0;
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			dp[i]=n-i+1;
			for(int j=1;j<i;j++) {
				if(s[lcp[i][j]+i]>s[lcp[i][j]+j]) {
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+n-i+1-lcp[i][j]);
				}
			}
		}
		cout<<*max_element(dp+1,dp+1+n)<<endl;
	}
	return 0;
}