CodeForces - 1480D2 Painting the Array II(dp)

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，现在要求拆分成两个子序列，使得两个子序列的贡献之和最 小。对于一个序列的贡献就是，去掉相邻且相同的字母后的长度，即 ${\sum }_{i=1}^n[a[i]!=a[i-1]]$，其中 $a[0]=0$。

题目分析：本题有贪心解法，参考 CodeForces - 1480D1，只需要将规则三的 $last[v1]$ 和 $last[v2]$ 比较时的小于号换成大于号即可

贪心解法不多赘述，这里想写一下动态规划的解法

首先对原序列做一下处理，因为我们是要求最小的贡献之和，所以不难看出，如果将相邻相同的项合并，并不会影响最后的答案

所以设计一个 $dp$，$dp[i]$ 为：以 $a[i]$ 为序列一结尾，以 $a[i-1]$ 为序列二结尾的最小贡献，转移方程如下：

• $f[i]=1,i=1$
• $f[i]=mi{n}_{j=1}^{i-1}(f[j]+(i-1)-j+[a[i]\ne a[j-1]]),i>1$

解释一下第二个方程，其实就是在选定某个位置 $i$ 和位置 $j$ 后，将 $[j+1,i-1]$ 这 $(i-1)-j$ 个数都接在 $a[j]$ 后面；将 $a[i]$ 接在 $a[j-1]$ 后面

上面方程转移的复杂度是 $O(n^2)$ 级别的，但是不难发现，因为我们需要求最小的答案，那么令 $[a[i]\ne a[j-1]]$ 这一项为 $0$ 显然是最优的，也就是让相同的两项挨起来是更优的

所以我们可以记录一下位置 $i$ 前面一次出现 $a[i]$ 的位置 $j$，满足 $a[i]=a[j]$，这样直接用 $j$ 进行转移就可以了

代码：

// Problem: D2. Painting the Array II
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #700 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1480/problem/D2
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],last[N],dp[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m=0;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
		if(a[i]!=a[m]) {
			a[++m]=a[i];
		}
	}
	int ans=m;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		dp[i]=dp[i-1]+1;
		if(last[a[i]]) {
			int j=last[a[i]]+1;
			dp[i]=min(dp[i],dp[j]+i-j-1);
		}
		last[a[i]]=i;
		ans=min(ans,dp[i]+(m-i));
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}